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十七线性方程组的通解
微分方程 小结: 1.齐次线形方程组的通解的求法. 2.非齐次线形方程组的通解的求法. * * 第六讲 线性方程组的通解 一、非齐次线性方程组的通解 二、齐次线性方程组的通解 第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组 对于方程组(其中有n个未知数,m个方程) (1) 或用矩阵方程,方程组(1)表示为: 非齐次线性方程组 Ax?b 有解的判断与求解步骤: (1)对于非齐次线性方程组? 把它的增广矩阵B=(A, b)化成行阶梯形? 从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)? 若R(A)?R(B)? 则方程组无解? 一、非齐次线性方程组的通解 (2)若R(A)?R(B)? 则进一步把B化成行最简形? 而对于齐次线性方程组? 则把系数矩阵A化成行最简形? (3)设R(A)?R(B) ?r? 把行最简形中 r 个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数? 其余n?r个未知数取作自由未知数? 并令自由未知数分别等于c1? c2? ???? cn?r ? 由B的行最简形? 即可写出含n?r个参数的通解? 例1. 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 故方程组无解. 例2 求解非齐次方程组的通解 解 对增广矩阵B进行初等变换 故方程组有解,且有 所以方程组的通解为 解: 所以方程组的通解为 对于方程组(其中有n个未知数,m个方程) (2) 或用矩阵方程方程组(1)表示为: 齐次线性方程组 Ax?0 有非零解的判断与求解步骤: (1)对于齐次线性方程组? 把它的系数矩阵A 化成行阶梯形? 从A的行阶梯形可同时看出R(A)? 若R(A)?n , 则齐次线性方程组只有零解? 二、齐次线性方程组的通解 (2)若R(A)? n ? 则进一步把A化成行最简形? (3)设R(A) ?r? 把行最简形中 r 个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数? 其余n?r个未知数取作自由未知数? 并令自由未知数分别等于c1? c2? ???? cn?r ? 由A的行最简形? 即可写出含n?r个参数的通解? 解: 求解齐次线性方程组 例4. 即得与原方程组同解的方程组 由此即得 * *
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