十数学悖论与其大学派.PPTVIP

公理系统的完善 希尔伯特（David Hilbert; 1862 ? 1943） 公理系统的完善 6 个不加解释的定义包括： （肯尼斯）阿洛悖论，选举悖论 《科学美国人》编辑部编著 李思一 白葆林译，从惊讶到思考 数学悖论奇景，轻工业出版社P164-165 赌徒的谬误 ★　在一赌徒连赌连赢之后， →　有些赌徒会认为“他正走运呢”，打赌他还会赢； →　另一些赌徒却认为，他应该要输了，这样输赢才能平衡。 ★　而在一赌徒连赌连输之后， →有些赌徒会认为“他太背运了”，打赌他会继续输； → 另一些赌徒却认为，“机会很快会变得对他有利”、“他的运气要改变”，他应该赢了，这样输赢才能平衡。 　　许多人潜心研究彩票中奖号码的规律，并且做了许多图表，试图发现利用已知数据预测中奖号码的方法。根据图表， 　　一方主张：在上一轮中刚刚产生的号码是比较“热”的号码，在下一轮中这些号码再次出现的概率较高。 　　另一方提出针锋相对的观点：“风水轮流转”，那些在最近没有出现过的号码在下一轮中出现的概率才更高。 三种说谎： 谎言，弥天大谎，统计数字。 1873年，发生在赌城蒙特卡罗: 一名英国工程师约瑟夫·贾格斯让他的助手提前一天到赌场，记录下当天出现的所有数字。贾格斯研究发现，第六台赌机上有9个数字被选中的概率较高。 第二天来到赌场，他专押那台赌机上这9个数字。到第4天结束时，他赢了30万美元。 贾格斯之所以交好运，并不是赢在数学上，而是赢在物理学上。那台轮盘赌机上有一小裂缝，正是它让那9个数字出现的频率高于统计学的估算。 从那后，蒙特卡罗赌场里的轮盘赌机每天都要进行专业检查调试，确保数字被选中的概率相同。 四、数学上的三大学派 数学和逻辑学在历史上曾经是截然不同的研究领域……但在现代都有所发展：逻辑学越来越数学化而数学也越来越逻辑化。结果就是，现在已不可能在两者间画出一条分界线；事实上两者是同一的……当然，证明两者的同一是一个细节问题。 (Russel 1919：第18章) （美）斯图尔特·夏皮罗著.数学哲学：对数学的思考.复旦大学出版社,2009.02. 逻辑主义学派 数学（只）是逻辑？ 逻辑主义学派代表人物主要是 弗雷格、罗素。 他们认为， 数学的概念和对象(例如“数”)可以用逻辑词项定义；并且在这些定义下，数学的定理可以由逻辑原理推导出来。 逻辑主义学派 弗雷格明确地提出了数学可以化归为逻辑的思想，而且花费了近二十年的时间把算术化归为逻辑，这就是他的巨著《算术基础》和《算术基本原理》。 其中的主要问题是，从逻辑概念推出自然数。因为这时数学理论的算术化已基本完成，即无论是数学分析还是几何学，都已化归为实数论，而实数论通过康托的有理数序列和戴德金的有理数分割，化归为有理数理论，进而化归为自然数理论。从而建立数学大厦。 郝宁湘著.数学历史文化.四川教育出版社,2002年08月第1版.P94 罗素认为， 数学的少年时代是逻辑，逻辑的青年时代是数学。 逻辑主义主张具体分为两部分内容： 第一，数学的概念可以从逻辑的概念出发，经由明显的定义而得出。 第二，数学的定理可以通过纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理推导出来。 因此，全部数学便都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则推导出来。 罗素直到晚年才承认：“我所一直寻找的数学中的光辉的确定性在令人困惑的迷宫中丧失了……寻求完美、最终和确定性的希望破灭了。” 美国数学史家M·克莱因说：“算术和代数步骤以及几何法则，都是根据物理事实、边试边改以及从直观认识得出的结果……关于证明的想法，依据于决定取舍原则的逻辑结构的思想，……数学里都是找不到的。” 哈代，李文林，一个数学家的辩白，江苏教育出版社，1996，P76 利用逻辑推导出全部数学的过程可归结为两步： 第一步是数学理论算术化； 第二步是算术理论逻辑化 罗素 逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成年时代 直觉主义学派 德国数学家克罗内克，荷兰数学家布劳威尔发表其名著《数学基础》，系统地阐述了其直觉主义观点。 直觉主义学派的基本观点是： 否认逻辑先于数学； 数学起源于直觉； 数学必须能构造； 传统逻辑起源于有限集，不能推广到无限集；