十算法、框图、复数、推理与证明推理与证明.PPTVIP

重点难点 重点：①掌握合情推理和演绎推理． ②能熟练地运用综合法和分析法证题． ③理解反证法，掌握反证法证题步骤． 难点：用综合法、分析法、反证法证题的思路． 知识归纳 1．推理的概念 根据一个或几个已知判断(事实或假设)得出一个新的判断的思维过程叫推理，推理一般由两部分组成：前提和结论． 推理一般分为合情推理和演绎推理两类． 2．合情推理 前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理，数学中常见的合情推理是归纳推理和类比推理． 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理． (1)归纳推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理． 归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质． ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)． (2)类比推理 根据两类不同事物之间具有的某些类似(或一致)性推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质，这样的推理叫类比推理． 类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的．所以类比推理属于合情推理． 类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或一致性． ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 3．演绎推理 根据一般性的真命题(或逻辑规则)推导出特殊性命题为真的推理形式称作演绎推理． 它的特征是：当前提为真时，结论必然为真． (1)假言推理 假言推理的规则是：“若p?q，p真，则q真”． 它的本质是，通过验证结论的充分条件为真，从而判断结论为真． (2)三段论推理 “若b?c，a?b，则a?c”，这种推理规则叫三段论推理．它包括： (1)大前提——已知的一般性原理．M是P (2)小前提——所研究的特殊情况．S是M (3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．S是P，三段论推理是演绎推理的一般模式． (3)关系推理 推理规则是：“如果aRb，bRc，则aRc”(其中R表示具有传递性的关系)，这种推理叫关系推理，如：由a∥b，b∥c，推出a∥c，若a≥b，b≥c，则a≥c，都是关系推理． (4)完全归纳推理 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理． 4．直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理、法则等，直接推证结论的真实性． (1)综合法 从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证结论．是一种由因导果的方法． (2)分析法 从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实，是一种执果索因的方法． 分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已知”，其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件为止． 综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其每步推理都是寻找使每一步结论成立的必要条件． 5．反证法 一般地，由证明p?q，转向证明?q?r?…?t，而t与已知矛盾或与某个真命题矛盾，从而判定?q为假，推出q为真的证明方法叫做反证法． 数学中的命题，都有题设条件和结论两部分，反证法是从否定这个命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新结论与已知矛盾，得出结论的反面不正确，从而肯定原结论是正确的一种间接证明方法． 这里所谓的“与已知矛盾”主要是指： (1)与假设自相矛盾． (2)与数学公理、定理、公式、法则、定义或已被证明了的结论矛盾． (3)与公认的简单事实矛盾． 反证法主要适用于以下情形： ①结论本身是以否定形式出现的一类命题； ②关于唯一性、存在性的命题； ③结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题； ④结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题； ⑤要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰的命题． ⑥如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形． 误区警示 ①在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． ②注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真！ 解题技巧 1．分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接词． 2．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写过程． 3．用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法． 反证法还常常用在要证的结论中含有许多种