十节可降阶的高阶微分方程.PPTVIP

第六节 可降阶的高阶微分方程 例1 求解 二. 例4 求解 三. 例5 求解 例6 解下列初值问题 例7 设函数 内容小结 思考与练习 * 四、小结及作业 一. 令 则 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 解 ( 这里 ) 型的微分方程 设 则 于是原方程化为一阶方程 设其通解为 则 再一次积分, 得原方程的通解 解 设 则 代入方程,得 分离变量 积分得 即 利用 得 于是有 两端再积分, 得 利用 得 因此所求特解为 型的微分方程 设 则 故方程化为 设它的通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 代入方程, 得 即 两端积分, 得 即 再分离变量积分, 得 故所求通解为 解 设 则 解 令 则 代入方程, 得 积分得 利用初始条件, 得 从而 但根据 积分得 再利用 得 故所求特解为 应取 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 二阶可导, 且 过曲线 上任一点 P(x,y) 作该曲线的 切线及 x 轴的垂线 , 区间 [ 0, x ]上以 且 恒为 1 , 求 解 设曲线 由于 所以 于是 在点 处的切线倾角为 满足的方程. 积记为 记为 再利用 y (0) = 1, 得 利用 得 两边对 x 求导, 得方程 定解条件为 令 方程化为 则 解得 利用定解条件, 得 再解 得 故所求曲线方程为 解 将方程写成 积分后得通解 注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程. 例 8 解 代入原方程 解线性方程, 得 两端积分,得 原方程通解为 例 9 可降阶微分方程的解法 降阶法 逐次积分 令 则 令 则 作业12-6: P292 1(2)(4) (5)(7)(10); 2 (3) (5) (6) ; 3. 1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便 (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号 * * *