半群和群的定义和性质.PPTVIP

* * 同余关系 相对于某个固定模数m的同余关系，是整数间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质： 自反性：对任意整数a有a≡a（mod m） 对称性：如果a≡b(mod m)则b≡a（mod m） 传递性：如果a≡b (mod m）b≡c（mod m）则a≡c(mod m) 全体整数集合Z可按模m（m1）分成一些两两不交的等价类，称之为同余类或剩余类。 * * 整数模m同余类共有m个，他们分别为{km+0}, {km+1}, …{km+(m-1)}，其中 k∈Z，每一类都可以选一个代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。 Z模12的标准剩余系为：[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11] 同（剩）余类 * * 对于某个固定模m的剩余类可以象普通的数那样相加、相减和相乘： (1) a(mod m)±b(mod m)=(a±b)(mod m) (2) a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m) 消去率：对于ab≡ac（mod m）来说，若(a,m)＝1则b≡c(mod m) 剩余类间的运算 * * 例：通过同余式演算证明560-1是56的倍数。 解： 注意53=125≡13(mod56) 于是有56≡132 ≡ 169≡1(mod56) 因此有560≡1(mod56)， 即有56∣560-1。 剩余类应用举例 　Zn,+n，Zn,?n　　(令n为素数和不为素数两种) * * 子半群(子独异点) 定义：设S,*是一个半群，B?S且*在B上是封闭的，那么B,*也是一个半群，通常称B,*是半群S,*的子半群; 设S,*是一个独异点，B?S,e?B且*在B上是封闭的，那么B,*也是一个独异点，通常称B,*是独异点S,*的子独异点。 半群S的子代数是S的子半群,独异点S的子代数是S的子独异点 * * 子半群举例 A关于矩阵乘法构成半群 A, ·, 且它是 M2(R) , ·的 子半群,令 , 则V是子独异点 * * 子半群的交集 定理10.3: 若干子半群的非空交集仍为子半群；若干子独异点的交集仍为子独异点. (只需证明封闭性) 思考:若干子半群的并集是否仍然是子半群? * * 同态和同构 半群与独异点的同态和同构 半群 f(xy)= f(x)f(y) 独异点 f(xy)=f(x)f(y), f(e)= e’ * * 同态的性质 定理:设 f 是从代数系统A到代数系统B的同态映射，则若A是半群(独异点)，则 同态象f (A)也是半群(独异点) * * 半群的同态性质 定理 设V= S,?为半群，V ’= SS,°，°为映射复合， 则V ’也是半群，且存在V 到V ’ 的同态. 证： 设 fa:S→S, fa(x)=a ?x, fa∈SS, 且{ fa | a∈S }? SS, 令?：S→SS, ?(a)=fa, ?(a ?b)=fa?b, ?(a)°?(b)=fa°fb 为证同态只需证明fa ?b=fa°fb ?x∈S, f a* b (x)= a *b* x fa°fb(x)=fa(b* x)= a *b* x * * 独异点的同构性质 定理 设V=S,*,e为独异点，则存在T?SS, 使得 S,*,e同构于T,?,IS 证：令 ?：S→SS, ?(a) = fa, 则 ?(a*b) = ?(a)??(b) ?(e) = fe = IS, ?为独异点V 到SS,?,IS的同态 ?(a) = ?(b) ? fa= fb ? ?x∈S (a*x=b*x) ? a*e = b*e ? a=b , ?为单射 令T=?(S)，则T?SS, 且?:S→T 为双射， S,*,e?T,°,IS * * 作业 P202 2, 3,4,5, 6 第十章 群与环- 半群和群的定义和性质 * * 主要内容 半群 独异点 群 * * 半群 定义10.1(1)： S,°是一个代数系统， 其中S是非空集合，°是S上的一个二元 运算(运算°是封闭的)，如果运算°是 可结合的，即对任意的x,y,z∈S，　　满足(x°y)°z=x°(y°z) 则称代数系统S,°为半群. * * 例10.1 Z+,+,N,+,Z,+,Q,+,R,+,C,+为半群 设n2,Mn(R),+, Mn(R), ·为半群 P(B),?,P(B), ?,P(B), ?为半群 A={a1, a2, ..., an},n∈Z+,*为A上的二元运算,?a