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数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理1.1：如果 （1） （2） （3）若B≠0 则： （4） （5）（n为自然数） 上述性质对于也同样成立 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求的极限 解：分子分母同时乘以 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知，求 解： 观察 因此得到 所以 1 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在附近有定义，，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点的导数记为。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点的导数。 例4. 求的极限 解： 3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式： （1）， （2） 但我们经常使用的是它们的变形： ， （2）求极限。 例5： 解：为了利用极限故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。 = = 例6： 解：将分母变形 后再化成“0/0”型 所以 = = 例7: 求的极限 解：原式= 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 4 利用函数的连续性 因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果是初等函数,且是的定义区间内的点, 则。 例8： 解 :因为复合函数是初等函数,而是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此 例8：求 解： 复合函数在处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值 即有 = =0 5 利用两个准则求极限。 （1） 函数极限的迫敛性：若一正整数 N,当nN时，有且则有 。 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和 ，使得。 例9 ： 求的极限 解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则 又因为 （2 ） 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 例12：设。试证数列的极限存在, 并求此极限。 解: 由及知。 设对某个正整数k有， 则有 从而由数学归纳法可知, 对一切自然数, 都有， 即数列单调下降, 由已知易见即有下界, 根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。 令对两边取极限， 有所以有解得A=3,或。 因为，所以，舍去,故 6 利用洛必达法则求未定式的极限 定义6.1：若当（或）时，函数和都趋于零(或无穷大)，则极限可能存在、也可能不存在，通常称为型和型未定式。 例如： , (型); , (型). 定理6.2：设 （1）当时, 函数和都趋于零; （2）在a点的某去心邻域内,和都存在且; （3） 存在(或无穷大), 则 定义6.3：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 例10： 　 解： 在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，并注意观察所求极限的类型如下例， 例11：求 解： = 洛必达法则通常适用于以下类型： 型： 例