数学分析第二章数列极限复习自测题.doc

数学分析（1）第二章 数列极限复习自测题 一、仔细体会并熟练掌握的定义（注意体会并正确理解和在定义中的作用和含义，掌握用定义验证数列极限的基本思想【对任意给定的正数，寻找在的过程中，使得实现的标准】和实现基本思想的具体实施方法【对任意给定的正数，求解关于的不等式“”，得出“某常数”的这种形式的解】），并用此定义证明下列极限： （1），； （2）； （3）； （4）； （5）若，，则对于任意给定的正整数，。和的几何意义，并用此几何意义解决下面的问题： （1）若，则； （2）若，则，为固定的正整数； （3）数列收敛（也称存在）是指：存在数，使得；数列发散（也称不存在）是指：对任意的数，。 证明：对任意的数，，即发散。 （4）试写出的对偶命题（称为的否定形式），即的精确的不等式表示。 三、仔细体会并熟练掌握数列极限的常用性质【极限的惟一性，有界性，保号性，保不等式性，运算性（包括四则运算性，迫敛性或夹逼性），子列性】以及常用性质的证明方法（注意体会定义在讨论数列极限问题中的作用），并用这些性质解决下面的问题： 1、用四则运算性计算下列极限（注意体会四则运算法则使用的前提条件）： （1）；；（2）； （3），其中。 2、用迫敛性或夹逼法则计算或证明下列极限（注意体会夹逼法则使用的前提条件）： （1）；（2）； （3）若，则，（注意体会与极限的开方法则的区别）； 3、用保号性证明：若，且，则存在正数，当时有（称为数列极限保序性的一般形式）； 4、利用子列性证明和不存在（注意子列性在讨论数列发散问题中的作用）。 （注：子列性的一个典型的作用是提供判断某些数列发散的有效方法） 四、仔细体会并熟练掌握关于数列极限存在性的单调有界定理和柯西准则，并用它们解决下面的问题： 1、分别用单调有界定理和柯西准则两种方法证明数列 和（其中）满足：，（），证明存在，并求其值； （2）若数列满足：设，（），证明存在，并求其值。 3、（1）体会柯西准则【收敛对任意给定的正数，存在，当时，对一切自然数，总有】中，标准与的关系； （2）写出柯西准则的对偶命题； （3）用柯西准则的对偶命题可得一个有用的结论：若存在{}的两个子列{}和{}，使得，则不存在，即{}发散。试利用此结论证明： 和， 都不存在。 4*、记，，则 （1）； （2），；（注意：利用不等式，当时，） （3）和都存在，且；（注意：利用（1）和（2）以及单调有界定理，以及） （4），从而发散；（注意：利用（3）和）； （5）。 五、（1）归纳已学过的求数列极限的方法（定义法、定义的几何意义法、极限的性质法、利用极限存在的条件的方法等）； （2）归纳已学过的判断数列极限不存在的判别方法（极限定义的对偶命题、极限定义几何意义的对偶命题、子列性产生的方法、柯西准则的对偶命题）。 六、第二章的学习报告