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例9 证 任取 当 时, 则有不等式 因 即 ? 令 则当 时, 有 * 第三节 函数的极限 一、函数在有限点处的极限 本节要点 二、函数在无穷大处的极限 一、函数极限的定义 在上节中, 我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数 列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数. 那 么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全 面引入函数极限的定义. 引例 设函数 从图形中可以看出: 尽管函数在 点 处没有定义, 但当 趋近于 看到, 对于 轴上的任何一个以2为 中心, 为半径的邻域, 在 轴上都 1而不等于1时, 相应的曲线上的点 趋近于直线 更进一步的可以 1 可以找到一个相应的以1为中心、 为半径的去心邻域, 将上面的问题一般化, 就得到函 在该邻域中的点所对应的直线上的点都落在 围成的带形区域中. 数在有限点处极限的定义. 1 或 定义 设函数 在点 的某个去心邻域中有定义, 如果存在常数 使得对于任意给定的正数 总存在 正数 对于满足 的一切 都有 那么常数 就称作函数 当 时的极限, 记为 函数 在点 处的极限的几何意义. o 曲线均在矩形区域中 例 设函数 x 1 2 y O 注: 函数 在点 处的极限与函数在这一点是否有 定义、或 为多少毫无关系, 它所反映的是 在 则 该点附近的变化趋势. 但 事实上, 极限与 的取值毫无关系. x 1 2 y O 经过不等式的变形, 得到关系 注 函数 在点 的极限的定义说明了如何去证明 其中 是一个与 无关的常量. 再取 , 则当 函数 在点 的极限为 的方法: 对于 考虑 时, 有: 此即说明 例1 证明下列极限 ⑴ 证 ⑴因 所以 故 ⑵ ⑵因 欲使 即 所以 不妨取 此时令 则 因而 ? 当 时有 例2 证明 证 因 所以对任意的 取 当 时有 所以 ? 例3 证明 证 因 所以任取 即 ? 为能解出不等式 ，要对 进行适当的控制, 为 此限定 的变化范围是 , 此时有 取 当 有 例4 证明 证 因 取 即 所以 ? 即 所以任取 取 当 有 证 因 例5 设 证明 所以任取 取 当 有 所以 ? 左、右极限 前面讨论的是函数 在某一点 的极限, 它反映的 是当 在该点两侧趋近于 时, 函数有一个确定的变化 趋势, 但某种情况下, 函数在 两侧的趋势是不同的, 这就需 要分别加以讨论. 考虑函数: 该函数在点 两侧的变化趋势是不同的: 当 在0的 右侧趋近于0时, ；而当 在 的左侧趋近于 时, 这就引出了左右极限的概念. 对应的函数值 总能满足 那么常数 就称作函数 在 处的左（右）极限. 定义 设函数 在 的某个左(右)邻域内有定义, 如 只要 满足 果存在常数 使得对于任意给定的正数 总存在正数 左极限记为 右极限记为 容易验证: 定理 极限 存在的充分必要条件