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数学是一门艺术性的语言 吴宗敏 没有一个数学家可以回答“数学是什么”，这正是数学一个尚未解决的根本性问题。 “数学是关于数和形的一门精确的学问”，这是经典的数学定义。当集合论已经成为小学数学课本内容的今天。广义的定义至少应该改成“数学是关于对象和关系的一门精确的学问”。但这只是关于基础数学的一个较为贴切的定义。如果考虑到应用数学。还应该拓展成“数学(特别是应用数学)是关于对象和关系的一门逐步精确的学问”。在实际应用中，除了一个苹果加一个苹果等于两个苹果这类小学习题之外．精确的解一般不可能得到。即使有解，苹果的品种、大小可能更为重要。实际生活中即使像精确地画出一条直线这样最基本的问题，也不可能做出来。所以数学家兼思想家罗素曾经说：“一切问题。都是逼近问题。”哲学上也认为“没有绝对真理．只有相对真理”。数学家特别是应用数学家。他们做的无非是希望找到一种方法。可以逐渐精确地描述已知乃至未知的世界，而这样的方法或理论一定是与时俱进的。 按美国数学会分类．数学大约有100余个分支。笔者熟悉的至多只有7～8个分支。而要回答“数学是什么”，属于数学总论范畴。是个完全陌生的领域。数学总论研究亦如浩瀚的大海。写这篇文章最多只能算是海边戏水．只是想与大家一起分享戏水的愉悦心情。希望可以感染一些人对大海的向往。 数学语言的特征 “数学是一门人、社会、自然对话的艺术语言”，讲究“严、简、谐、续”，严格地说是“严谨，简明，和谐，自我完善、可持续发展”。注意这里是“讲究”，就是还没有达到。严谨是数学语言的特征。为了达到严谨通常采用抽象手段，即采用符号作为本语言的文字。而符号之间的关系是可以量化的。中文文字也可以认为是符号语言。由方块字符号组成。数学是量化的语言．数学语言中不能说：“我没有看见一个人”．必须讲清如果看见的不是一个人，到底看见几个人。有些无法量化的东西还可以用概率对可能性进行量化。 简明是数学语言的另一个特征。三段论是数学语言的代表：前提(公理、大前提)，条件(小前提)，结论。数学希望将整个数学语言系统化，尽量将前提最小化。条件最弱化。而使得结论最大化。数学家欧拉曾经说过：一切问题都是求最大最小问题。甚至上帝也是按趋利原则创造世界的，连光线走的都是最短路径。 和谐就是美，就是艺术。数学语言描述复杂事物时，总是将其分解，逐步地提炼出和谐的部分。其代表就是利用函数空间的基进行展开。如多项式展开。傅里叶级数展开等。用函数、映照、算子表现它们的关系。应用数学中的数学建模。就是寻找函数间的和谐的微分算子关系。事实上．要想越来越精确地描述事物之间的关系，其模型必定越来越复杂。 数学不是一门封闭的学问，它在不断地自我完善，是可持续发展的。研究的对象：整数、有理数、实数、域、集合的发展如此．研究的方法与思想更是如此。 除了上述四个特征以外。数学抽象的根本目的是：有了这些对象描述与关系以外，在这样的数学架构上还能推导出什么?不单是描述世界，而是基于理性推导出人们还不曾经历的世界。通俗地讲“数学想了解上帝创造世界的秘诀，从而预测甚至创造今后的世界”。近代科学成功的秘密正在于此。数学就是寻找对于科学现象进行独立于任何物理解释的定量的描述，而不单是以实用为出发点的理性力量。 当今数学的最大难题是什么?首先想到的一定是一系列的著名猜想，可是这些世纪难题只是数学内部的问题。当今数学真正的最大难题是判断“本句话是错的”的准确性。不管是中文还是数学语言，从语言学的角度。这是一句陈述句，没有句法、语法错误，而从数学的严谨性，这样的语言在数学中出现是不能被允许的。 可悲的是，为了架构整个数学大厦．这样的语言不可避免地也会在数学语言中出现，这被称为“第三次数学危机”或者“集合论的悖论”。 语言影响思维方式 语言的最大功能是对话交流的工具。进一步地，语言可以提高对话交流的能力，提高论证能力。更为重要的是“语言同时将影响甚至决定掌握这类语言人们的思维方法”。数学语言在描述、论证方面的优点已经广为人知．而数学语言影响甚至决定人们的思维方法研究是一门新兴的学科，将会蓬勃发展。 一般认为．中文由于是象形文字而比较浪漫，拉丁语系由于采用更加抽象的符号比较严谨。所以古典中国画写意，泼墨、挥毫作画，可能酒喝得越多，画作得越好。画作亦以山水见长，可以配上“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”的题跋，可以画出“踏花归来马蹄香”的意境。而西方古典绘画讲究真实、比例、透视，长于人物，用色彩、光线表达情调。达芬奇曾经说过：“欣赏我的画的没有一个不是数学家。”西方古典绘画的本质是射影几何。后现代主义绘画也没有脱离数学语言的发展．是函数变换以后，换一个角度表现特征。不同语言的特质影响了人们的行为方式，中国人可能会“好读书、不求甚解”，而德国人的时间观念有如“火车时刻表”。 讲到语言就会联系到翻译，近代科学的历史就