有解恒成立问题总结.doc

有解、恒成立问题总结 一、规律总结：对一切恒成立,则;对一切恒成立,则；注意参数的端点值能否取到需检验。 1、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　　　　） (A) (B) (C) （D） 2、设函数。 (1) 如果，点为曲线上一个动点，求以为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； (2) 若时，恒成立，求的取值范围。 二、规律总结：若方程在某个区间上有解只需求出在区间上的值域A使。 利用函数处理方程解的问题，方法如下： （1）方程在区间上有解 与的图象在区间上有交点 （2）方程在区间上有几个解与的图象在区间上有几个交点 3、已知函数的图像与函数的图象相切，记 （1）求实数b的值及函数F（x）的极值； （2）若关于x的方程F（x）= k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围. 4、（2007广东卷理20）已知是实数，函数如果函数在区间上有零点，求实数的取值范围。 三、规律总结：在区间内有解,则;在区间内有解,则；注意参数的端点值能否取到需检验。 5、不等式有解，则的取值范围是 6、已知函数。当a＝1时，使不等式， 求实数m的取值范围； 四、规律总结：：一般地：分别定义在区间和上的函数， 若，，使成立 7、已知两函数，对任意存在，则实数m的取值范围，，其中，． 对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； 练习： 1．已知函数f(x)＝xln x. (1)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋ax＋2有零点，求实数a的最大值； (2)若x0，≤x－kx2－1恒成立，求实数k的取值范围．．设函数f(x)＝cln x＋x2＋bx(b，cR，c≠0)，且x＝1为f(x)的极值点． (1)若x＝1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)； (2)若f(x)＝0恰有两解，求实数c的取值范围． ,不等式恒成立 则由一次函数性质及图像知，即。答案：选B 2、解：(1) 设切线斜率为，则 当时，取最小值-4， 又， 所以，所求切线方程为，即 (2) 由，解得：或。 函数在和上是增函数，在上是减函数。 所以 或 或 解得 3、解：（1）依题意，令，得 列表如下： －1 + 0 － 0 + 增 极大值 减 极小值0 增 从上表可知处取得极小值 （2）由（1）可知函数作函数的图象，当 的图象与函数的图象有三个交点时，关于x的方程 4、解法1：时，，故 在区间上有解在区间上有解在区间上有解 问题转化为求函数在区间上的值域。 法一：设，令 随变化的情况如下表： — 0 + 1 的值域为 其图象如图所示： 由此可知可知：，即或 法二： 令 则 利用对勾函数性质可得 即 ，故或. 解法2：在区间上有解在区间上有解 与 且的图象有交点 由 + + 0 — — 5 1 、随变化的情况如下表： 函数的草图如下： 由图可知：或. 5、解：原不等式有解有解， 而，所以。 6、 7、解析对任意存在等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴ 8、【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可． 简解：令n(a)=gmax(x)=a/2；令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2, 故(1)对称轴x=a1，即或0a1时，m(a)= fmin(x)=f(1)=2-2a，由m(a)n(a) 解得a4/5,（注意到a的范围）从而得a的范围：0a4/5; (2)对称轴x=a2时，m(a)= fmin(x)=f(2)=5-4a，由m(a)n(a) 解得a10/9,（注意到a的范围）从而得a无解：; (3)对称轴x=a∈[1,2]时，m(a)= fmin(x)=f(a)=2-2a，由m(a)n(a) 解得或，（注意到a的范围）从而得a的范围：;; 综合（1）（2）（3）知实数的取值范围是：(0，4/5)∪[1,2] 练习： 1．解：(1)由题知，g(x)＝xln x＋x2＋ax＋2＝0在(0，＋∞)上有实根， 即：－a＝ln x＋x＋在(0，＋∞)上有实根， 令φ(x)＝ln x＋x＋，则φ′(x)＝＋1－＝＝(x＋2)(x－1)， 易知，φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以，－a≥φ(x)max＝φ(1)＝3，a≤－3. (2)依题意≤x－kx2－1，kx2≤x－1－ln x，x0.所以k≤(x－1－ln x) 设g(x)＝x－1－ln x，x0，g′(x)＝1－，当0x1