图形学数学基础变换.PPTVIP

图形学中的数学基础知识 欧氏空间(Euclidian Space) 矢量(vector) 直线(straight line) 平面(plane) 矩阵(matrix) 坐标变换(coordinate transformation) 线性空间(linear space) 线性运算 欧氏空间 线性实空间V上任意两向量定义了内积运算，则称其为欧氏空间。 坐标 矢量（1） 矢量坐标： 矢量（2） 矢量的模长 矢量（3） 矢量（4） 两矢量的夹角 矢量（5） 两矢量的数积 矢量（6） 两矢量的矢积 矢量（7） 直线方程的几种形式（1） 点斜式： 直线方程的几种形式（2） 斜截式： 直线方程的几种形式（3） 直线方程的几种形式（4） 直线方程的一般形式为 平面直线 平面直线的正负划分性 设平面直线方程为： 平面方程（1） 点法式方程： 平面方程（2） 平面的一般方程 平面方程（3） 平面方程的系数取特殊值时得不同平面 矩阵 矩阵运算 加减法 数乘矩阵 矩阵乘法 逆矩阵 矩阵的转置 坐标变换 坐标变换的作用 二维坐标变换的矩阵表示 齐次坐标(homogeneous coordinate) Cont. 三维几何变换的代数表示 三维几何变换的矩阵表达式 引入齐次坐标后可表示为： 3D 变换（transformations） Translate(平移) transformations Rotate(旋转) transformations Scale(缩放) transformations Reflect(反射) transformations Shear(错切) transformations Composition(复合) of 3D transformations 平移变换 平移 比例变换 续 关于任意参考点的比例变换 旋转变换 参数：旋转轴，旋转角度 2D空间中关于原点的旋转等价于3D空间中关于Z坐标轴的旋转 关于X轴的旋转变换 关于Y轴的旋转变换 以任意直线为轴的旋转变换 复合以下变换: 变换1：使该直线与某坐标轴如Z轴重叠 变换2：关于Z轴的旋转变换 变换3：逆变换1以恢复坐标系 反射变换 关于直线或平面的反射 例如：关于Z 续 关于平面的反射 例如：XOY平面 错切变换 依赖轴（Dependence axis）:对应坐标值得以保持 方向轴（Direction axis）: 对应坐标值线性变化 变换表达式（Representations）: 复合（Composition）变换 举例：关于任意直线的旋转变换 使任意直线与Z轴重叠 是实现其它众多变换的途径，包括 关于任意对称轴的反射变换 关于任意对称平面的反射变换 以任意直线为轴的旋转变换 续： (1) 平移：使P1与坐标原点重叠 续： 续 续 续 续 续 续 续 续 续 (3) 绕Y轴旋转以使直线与Z轴重叠 续 续 (5)恢复原坐标系 复合后的总体变换矩阵是: R(?)=T1-1·Rx-1(?)·Ry-1(?) ·Rz(?)·Ry(?)·Rx(?)·T1 坐标系固定，图形变换 续 证明： 假设固定坐标系下进行的变换表示为矩阵T1，变换前后的点集记为A，B. 则 B=AT1,. 若图形固定不变，则变换前后需采用不同的基底（分记为X和X’）表示图形 即BX’=AX, 因此， X’=T1-1X 模型变换（Mode transformation） 从一个旧坐标系到新坐标系的变换 新坐标系定义如右图所示 续 模型变换由复合变换实现 线性代数中给出的变换公式 关于原点的比例变换 记为: 参考点坐标记为 : 可分解为:平移 关于原点的比例变换 逆平移变换 记为: X Y Z 可视为RZ与从坐标系[x,y,z]到[y,z,x]的变换的复合，如下图所示 Y Z X X Y Z 可视为RZ与从坐标系[x,y,z]到[z,x,y]的变换的复合 Z X Y X Y Z Y Z X P1 P2 下回分解！ ?:关于任意对称轴 ?：关于任意平面的对称 Y Z X P1 P2 引入记号：P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2), 旋转角: ? 复合以下变换: 变换1：使该直线与某坐标轴如Z轴重叠 变换2：关于Z轴的旋转变换 变换3：逆变换1以恢复坐标系 假设：P1P2是单位矢量且设P2点坐标为(a,b,c) X Y Z O P1 P2 X Y Z P1 P2 X Y Z (2)绕X轴旋转使P1P2落在XOZ平面上 X Y Z ? (2)绕X轴旋转使P1P2落在XOZ平面上 X Y Z ? (2)绕X轴旋转使P1P2落在XOZ平面上 X Y Z ? (2)绕X轴旋转使P1P2落在XOZ平面上 X Y Z ? (2