第6节行列式按行(列)展开讲述.ppt

物电学院 线性代数 计算物理教研室 n阶行列式的计算主要方法： 1【定义法】 — 利用n阶行列式的定义计算; 2【三角形法】— 利用性质1-5化为三角形计算； 3【展开法】 — 利用行列式按行（列）展开性质 6，对行列式进行降阶计算； 4【综合法】 —利用性质1-5先使D的某行(列)有尽 可能多的零,再用性质6对行列式进 行降阶计算. 5【递推公式法】； 6【归纳法】。 本节主要介绍展开法—利用行列式按行(列)展开性质6，对行列式进行降阶计算； 一、简介 一般说来，要解出行列式的值, 低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便. 通常的方法是：把一个行列式转化为一些阶数比较低的行列式来计算. 那么，如何将高阶的行列式转化为低阶的呢？ 二、余子式与代数余子式 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 1、【余子式】 例如 的元素a23余子式与代数余子式 余子式为 : 叫做元素 的代数余子式． 2、【代数余子式】 在余子式前面加上相应的符号，即构成代数余子式。 例如 的元素a23 代数余子式 【代数余子式】 三、按一行（列）展开行列式 特例1：某行中只有一个元不为零。故展开后较简单。 【引理】一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除 元 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即：  证明 见P16 先证明 的情形，此时： 此行列式值为： 又： 从而：  2、【特例2】：行列式D中第i行 除元 外，该行其他元全为零。即： 这时，将行列式第i行调换到的一行，要换（i-1）次换到的第一行，则有：想把该行列式变换为，第一行中第一元素为 ，该行其他元全为零的情形： 办法如下： 第一步：把D的第i行依次与第i-1行，第i-2行、….. 、第1行对调，这样数 就调成 元，调换的次数为i-1；得 第二步：把第 j 列依次与第 j-1列，j-2列，…，第1列对调,这样数 就调成（1,1）元，对调次数为 j-1 总之，经i+j-2次调换，把数 调成（1,1）元。所得的行列式为： 中的余子式 ? 故得 利用前 面的结 果有 3．推广到一般情形： 定理3 . 行列式按行(列) 展开法则(定理) n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即： 【注意】：在具体计算行列式的值时，到底按哪一行(列)来展开, 看实际情况确定,哪行简单(零元素较多),就按哪行展开. 证明： 则可以得到: 类似地,若按列来证明有: 例题分析 解：把第3行其余元素变为0，然后按第3行展开： 例12 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式 其中记号 是连乘号,表示全体同类因子的乘积。 定理3推论. n阶行列式的任一行的各元与另一行对应元的代表余子式乘积之和为零，即： 同理 n阶行列式的任一 列的各元与另一列对应元 的代表余子式乘积之和为 零，即： 行列式展开定理 行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和? 即 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零? 即 综合结论? 总结 D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43? 其中a13=3? a23=1? a33=-1? a43=0? 例题分析 例1 计算行列式