振动自由度.PPTVIP

达朗伯（d’Alembert)原理 质点在运动的任一瞬时，作用在质点上的 力（包括荷载、约束力和惯性力）相平衡。 即： （四）主振型的正交性 柔度系数的副系数f12=f21及刚度系数的副系数k12=k21是有正负号的，因此，求出的振幅比及相对振幅值也可有正号或负号。 关于正负号的规则是，在计算开始时，先规定位移y1(t)及y2(t)的正方向，求柔度系数的单位力及求刚度系数的单位位移均按位移yi(t)的正向施加，则求得的柔度系数fij或刚度系数kij指向与yi(t)正向相同者为正，反之为负。 主振动是简谐自由振动，位移和惯性力同时达到幅值。 第一主振型可看做相应惯性力幅值ω12m1A 1(1)和ω12m2A 2(1)作用所产生的静力位。 第二主振型可看作相应惯性力幅值ω22m1A 1(2)和ω22m2A 2(2) 作用所产生的静力位移。 m1 m2 整理得： 因 ，则存在： 主振型的正交条件 m1 m2 对两个状态应用虚功互等定理，有 第一主振型 第二主振型 m1 m2 例1 求图示结构自振频率和振型。 m m l/2 l/2 l/2 EI k=3EI /l3 A B E D 解：体系为静定结构，有两个自由度 1）求柔度系数，由图乘法和弹簧内力虚功计算，得 l /2 1/2 1 l /4 1 1/2 M1 M2 2）求自振频率，代入两个自由度体系自由振动的频率方程，得 令： 则： 展开并解得： （三）计算步骤 （6）最大内力 方法一：动力系数法 仅当P(t）直接作用在质点上时，将 作为静力作用在体系上， 按静力法计算。(见a图） m （a)动力系数法 求最大内力的两种方法 （b)幅值法 m （c)幅值法 m 方法二：幅值法 由达朗伯原理，把位移达到最大值时，所有力的幅值加上去。 1）当 为正时，F沿质点位移方向一致施加 (见b图） 2）当 为负时，F沿质点位移方向反向施加(见c图） m （a)动力系数法 求最大内力的两种方法 （b)幅值法 m （c)幅值法 m 方法一：动力系数法 （1）单自由度体系 （2）受简谐荷载作用 （3）荷载位于质点上 体系满足上述的条件时，两种方法得出相同的结果 讨论 1）当 为正时，F与质点位移方向一致 2）当 为负时，F与质点位移方向相反 由此可见，当采用动力系数法求结构的最大动力反应时，无论 正负，均可用乘以动力系数的扰力幅值代替扰力幅值F与惯性力幅值 作用，用静力方法计算。 例1 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知: 解. Q l/2 l/2 重力引起的弯矩 重力引起的位移 l/4 振幅 动弯矩幅值 跨中最大弯矩 跨中最大位移 例2：已知m=300kg，EI=90×105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,θ=80s-1 ，求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。 l/2 EI l/2 m 解：1)求ω 2)求β 3)求 ymax， Mmax [动荷载不作用于质点时的计算] m =1 =1 令 P 仍是位移动力系数 运动方程 稳态解 振幅 解: 例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知 m EI l/2 l/2 P P=1 =1 P 动弯矩幅值图 解: 例:求图示体系右端的质点振幅 m l m k l l A P o [列幅值方程求解] 同频同步变化 小结 情况1：干扰力直接作用在质点上 情况2：干扰力不作用在质点上 干扰力 最大“静”位移 最大动位移 最大动内力 例1： 图示简支梁跨中有一集中质量m，支座A处受动力矩Msinθt 作用，求质点的动位移和A的动转角的幅值。 解：体系的动力荷载Msinθt 不是作用在质点，因而不能直接利用 求动位移，可由建立体系的振动方程来求解。 EI l/2 l/2 m Msinθt B A 1 1 1 M1 M2 1）设惯性力和动力荷载分别为单位力和单位力偶作用在体系上，并作出相应的弯矩图 M1 M2 l/4 2）质点的动位移是惯性力 I (t) 和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理表示为 将柔度系数代入上式，并整理得 式中： 自振频率 等效荷载幅值 运用图乘法可得： 由质点位移方程可得，受迫振动的稳态解为： 3) 支座A 处的动转角也是由惯性力I (t)和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理表示为： 将y(t)求二阶导数代入上式，可得： 将柔度系数和 代入可得： 质点的动位移幅值为 其中 为动荷载 幅值M所引起的质点静位移yjp, 为动力系数。 支座处动转角幅值为 其中 为动荷载 幅值M所引起的静转角，