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推理与证明技术

第5章 推理与证明技术 5.1 本章学习要求 5.2 命题逻辑的推理理论 推理的有效性和结论的真实性 有效的推理不一定产生真实的结论; 而产生真实结论的推理过程未必是有效的。 有效的推理中可能包含为“假”的前提, 而无效的推理却可能得到为“真”的结论 。 推理的有效性和结论的真实性 5.2.1 推理的基本概念和推理形式 定义5.2.1 设G1, G2, …,Gn,H是公式,称H是G1, G2, …,Gn的逻辑结果(G1, G2, …,Gn共同蕴涵H),当且仅当H 是G1∧G2∧…∧Gn的逻辑结果(logic conclusion)。 记G1, G2, …,Gn ?H,此时称G1, G2, …,Gn ?H为有效的(efficacious),否则称为无效的(inefficacious)。 G1, G2, …,Gn称为一组前提(Premise),有时用集合Г来表示,记Г = {G1, G2, …,Gn}。H称为结论(conclusion)。又称H是前提集合的逻辑结果。记为Г ? H。 判定定理 定理5.2.1 公式H是前提集合Г={G1, G2, …, Gn}的逻辑结果当且仅当G1∧G2∧…∧Gn→H为永真公式。 判定定理(续) “?”与“→”的不同 1.“→”仅是一般的蕴涵联结词,G→H的结果仍是一个公式, 而“?”却描述了两个公式G,H之间的一种逻辑蕴涵关系,G ? H的“结果”,是非命题公式; 5.2.2 判断有效结论的常用方法 1、真值表技术 设P1,P2,…,Pn是出现在前提G1,G2,…,Gn和结论H中的一切命题变元, 如果将P1,P2,…,Pn中所有可能的解释及G1,G2,…,Gn,H的对应真值结果都列在一个表中,根据“→”的定义,则有判断方法如下: 例5.2.1 判断下列H是否是前提G1,G2的逻辑结果 (1) H:Q; G1:P;G2:P→Q;  (2) H:┐P; G1:P→Q;G2:┐Q; (3) H:Q; G1:┐P;G2:P→Q。 2 推理定律 设G,H,I,J是任意的命题公式,则有: 2 推理定律(续) 6)I10:┐G, G∨H ? H (选言/析取三段论) I11:┐G, G H ? H 7)I12:G, G→H ? H (分离规则) 8)I13:┐H, G→H ? ┐G (否定后件式) 9)I14:G→H, H→I ? G→I (假言三段论) 10)I15:G∨H, G→I, H→I ? I (二难推论) 例子 1)、前提:  1. 如果明天天晴,我们准备外出旅游。 P→Q  2.明天的确天晴。         P   结论:我们外出旅游。     Q  可描述为:P→Q,P ? Q (分离规则) 2)、前提:  1. 如果一个人是单身汉,则他不幸福。 P→┐Q  2. 如果一个人不幸福,则他死得早。 ┐Q→R   结论:单身汉死得早。 P→R  可描述为:P→┐Q,┐Q→R ? P→R (假言三段论) 例子(续1) 3)、某人在某日晚归家途中被杀害,据多方调查确证,凶手必为王某或陈某,但后又查证,作案之晚王某在工厂值夜班,没有外出,根据上述案情可得: 前提:1.凶手为王某或陈某。 P∨Q 2.如果王某是凶手,则他在作案当晚必外出 P→R 3.王某案发之晚并未外出。 ┐R 结论:陈某是凶手。 Q 则可描述为:P→R,┐R ? ┐P (否定后件式) P∨Q,┐P ? Q (选言三段论) 例子(续2) 4)、前提: 1.如果某同学为省二级以上运动员,则他将被大学录取。 P→R 2.如果某同学高考总分在560分以上,则将被大学录取。 Q→R 3.某同学高考总分在560分以上或者是省二级运动员。 P∨Q 结论:该同学被大学录取。 R 则上述例子可描述为: P∨Q,P→R,Q→R ? R (二难推论) 3 演绎法 演绎法是从前提(假设)出发,依据公认的推理规则和推理定律,推导出一个结论来。 引入推理规则 在数理逻辑中,主要的推理规则有: ① P规则(称为前提引用规则):在推导的过程中,可随时引入前提集合中的任意一个前提; ② 规则T(逻辑结果引用规则):在推导的过程中,可以随时引入公式S,该公式S是由其前的一个或多个公式推导出来的逻辑结果。 ③ 规则CP(附加前提规则):如果能从给定的前提集合Г与公式P推导出S,则能从此前提集合Г推导出P→S。 演绎的定义 定义5.2.2 从前提集合Г推出结论H的一个演绎是指构造命题公式的一个有限序列: H1,H2,……,H

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