推理与证明复习小结.PPTVIP

适用范围 唯一性问题 命题中涉及量词的问题 结论否定型问题 难以判断、计算、或证明的问题 五.数学归纳法 证明“恒等式” 证明“几何问题” 证明“不等式” 证明“整除问题” 证明“猜想类问题” 3.是否存在实数a,b,c，使得等式 对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 a=3,b=11,c=10 考试热点 数列{an}中，sn=2n- an 计算a1，a2，a3，a4，并猜想an； 用数学归纳法证明你的猜想。 * * * * * * 第二章　推理与证明 复习小结 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 数学归纳法 间接证明 比较法 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 知识结构 一.合情推理与演绎推理 ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理. 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确(前提为真). “完全归纳推理”与“归纳推理”的区别 3. 方法一：累差叠加法 4. 证 为 数 为 数 证 二.综合法 证 为 数 为 数 证 证 证明: 要证 只需证 只需证 只需证 只需证 因为 成立. 所以 成立. 三.分析法 四:反证法 练习 1. 例2．证明 不是有理数。 证明：假定 是有理数，则可设 ,其中p，q为互质的正整数， 2q2=p2， ① ①式表明p2是偶数，所以p也是偶数，于是令p=2l，l是正整数，代入①式， 得q2=2l2， ② 这样p，q都有公因数2，这与p，q互质矛盾， 因此 是有理数不成立，于是 是无理数. 例3、设0 a, b, c 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 证明：假设(1 ? a)b , (1 ? b)c , (1 ? c)a , 则三式相乘： (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a ① 又∵0 a, b, c 1 所以 同理： 以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾 ∴原式成立。 例1．用数学归纳法证明： 证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4，因为左边=右边，所以等式是成立的； （2）假设当n=k时，等式成立，即 这就是说，当n=k+1时，等式也成立， 由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。 例2.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1) 证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21?1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k? 1? 3?…? (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)? = 2k? 1? 3?…?(2k-1)(2k+1)?2 = 2k+1?1? 3?…? (2k-1) ?[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。 ? ? 例3:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2?(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点. 又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(