数值分析用矩阵分解法解线性代数方程组.PPTVIP

* 数值分析 数值分析 * 第三节 用矩阵分解法求解线性方程组 第二步: lupdsv.m %功能：调用列主元三角分解函数[LU,p]=lupd(A) % 求解线性方程组Ax=b。 %解法：PA=LU, Ax=b←→PAx=Pb % LUx=Pb, y=Ux % Ly=f=Pb, f(i)=b(p(i)) %输入：方阵A，右端项b（行或列向量均可） %输出：解x（行向量） function x=lupdsv(A,b) n=length(b); [LU,p]=lupd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1); end x(n)=y(n)/LU(n,n); for i=(n-1):-1:1 x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n))/LU(i,i); end lupqdsv.m %功能：调用全主元三角分解函数[LU,p,q]=lupqd(A) % 求解线性方程组Ax=b。 %解法：PAQ-1=LU, Ax=b←→(PAQ-1)(Qx)=Pb % LU(Qx)=Pb, z=Qx, y=Uz % Ly=f=Pb, f(i)=b(p(i)) % Uz=y, z=Qx , x(q(i))=z(i). %输入：方阵A，右端项b（行或列向量均可） %输出：解x（行向量） function x=lupqdsv(A,b) n=length(b); [LU,p,q]=lupqd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1); end z(n)=y(n)/LU(n,n);x(q(n))=z(n); for i=(n-1):-1:1 z(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*z(i+1:n))/LU(i,i); x(q(i))=z(i); end 定义1 若n阶矩阵A=(aij)的元素满足:对于1p,qn的正整数p、q,有j≥i+p及i≥j+q时，aij=0，则A称为带状矩阵. 带宽为w=p+q-1。 较常见带状矩阵为带宽为3 (p=q=2,w=3) 的矩阵。 系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组称为三对角方程组 七、 三对角方程组的解法 A称为三 对角矩阵 三对角线性方程组 应用追赶法求解三对角线性方程组。追赶法仍然 保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。充分利用 了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得到对三对 角线性方程组的快速解法。 定理: 如果带宽为 w=p+q-1 的n阶带状矩阵A有LU 分解:A=LU，则L是带宽为p的下三角矩阵，U是带 宽为q的上三角矩阵。 |an| 求解Ux=y , x4=0.3333, x3=-0.3333, x2=-1, x1=-1 求解Ly=b, y1=1, y2=1.5, y3=1, y4=0.5 周期三对角方程组的一般形式 基本思想：利用谢尔曼-莫里森公式（Sherman-Morrison)将方程化为三对角方程求解。 谢尔曼-莫里森公式（Sherman-Morrison)