数值分析矩阵分解法.PPTVIP

第三节 矩阵的三角分解法 一、矩阵三角分解的基本定理 顺序高斯消元与LU分解的等价性 列主元LU分解 全主元LU分解 Lupd.m %功能：对方阵A作列主元三角分解PA=LU,其中， % L为单位下三角阵，U为上三角阵，排列阵P % 用向量p表示。 %输入：方阵A。 %输出：紧凑存储LU=[L\U]，以及p。 %注意：当A奇异时退出Matlab. function [LU,p]=lupd(A) %初始化 n=length(A); p=1:n; LU=A; %分解过程 for k=1:n %有哪些信誉好的足球投注网站列主元ik [s,i]=max(abs(LU(k:n,k))); ik=i+k-1; 算法3-3 列主元三角分解：PA=LU %判断矩阵的奇异性 if s==0 quit; end %行交换 if ik~=k m=p(k); p(k)=p(ik); p(ik)=m; lk=LU(k,:); LU(k,:)=LU(ik,:); LU(ik,:)=lk; end %用消元法计算LU=[L\U] if k==n break; end LU(k+1:n,k)=LU(k+1:n,k)/LU(k,k); LU(k+1:n,k+1:n)=LU(k+1:n,k+1:n)-LU(k+1:n,k)*… LU(k,k+1:n); end A=[0 1 -1 2;-1 0 0 1;2 -1 0 1;1 3 0 1] [L,U,P]=lu(A) [L,U]=lu(A) MATLAB实现 lupdsv.m %功能：调用列主元三角分解函数[LU,p]=lupd(A) % 求解线性方程组Ax=b。 %解法：PA=LU, Ax=b←→PAx=Pb % LUx=Pb, y=Ux % Ly=f=Pb, f(i)=b(p(i)) %输入：方阵A，右端项b（行或列向量均可） %输出：解x（行向量） function x=lupdsv(A,b) n=length(b); [LU,p]=lupd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1); end x(n)=y(n)/LU(n,n); for i=(n-1):-1:1 x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n))/LU(i,i); end Lupqd.m %功能：对方阵A作全主元三角分解PAQT=LU,其中， % L为单位下三角阵，U为上三角阵，排列阵P % 和Q分别用向量p,q表示。 %输入：方阵A。 %输出：紧凑存储LU=[L\U]，以及p和q。 %注意：当A奇异时退出Matlab. function [LU,p,q]=lupqd(A) %初始化 n=length(A); p=1:n; q=p; LU=A; %分解过程 for k=1:n %有哪些信誉好的足球投注网站全主元(ik,jk) [xk,I]=max(abs(LU(k:n,k:n))); %列最大值及所在行 [s,j]=max(xk);ik=I(j)+k-1;jk=j+k-1; %判断矩阵的奇异性 if s==0 quit; end %行交换和列交换 if ik~=k m=p(k); p(k)=p(ik); p(ik)=m; lk=LU(k,:); LU(k,:)=LU(ik,:); LU(ik,:)=lk; end if jk~=k m=q(k); q(k)=q(jk); q(jk)=m; ck=LU(:,k); LU(:,k)=LU(:,jk); LU(:,jk)=ck; end %用消元法计算LU=[L\U] if k==n break; end LU(k+1:n,k)=LU(k+1:n,k)/LU(k,k); LU(k+1:n,k+1:n)=LU(k+1:n,k+1:n)-LU(k+1:n,k)*… LU(k,k+1:n); end lupqdsv.m %功能：调用全主元三角分解函数[LU,p,q]=lupqd(A) % 求解线性方程组Ax=b。 %解法：PAQ-1=LU, Ax=b←→(PAQ-1)(Qx)=Pb % LU(Qx)=Pb, z=Qx, y=Uz