数值分析课件(、).PPTVIP

5.1 引言 6.2 基本迭代 一、雅可比迭代法 二、高斯—塞德尔迭代法 SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,…, 三、逐次超松驰(SOR)迭代法 说明: 1)ω=1,即为GS（高斯-赛德尔迭代法）; 2)ω1超松驰,ω1低松驰; 例6-3 用SOR迭代法解线性代数方程组 6.3 迭代法的收敛性 一、一阶定常迭代法的基本定理 迭代的统一格式：x(k+1)=Bx(k)+f 1) 雅可比迭代法: BJ=D-1(L+U)，fJ=D-1b; 2) 高斯-赛德尔迭代法: BG=(D-L)-1U，fG= =(D-L)-1b; 3) SOR迭代法: BSOR=(D-wL)-1{(1-w)D+wU}，fSOR= w(D-wL)-1b. 例6-5 考察用雅可比迭代法求解线性方程组 机动 上页 下页 首页 结束 研究生公共课程数学系列 第五章 解线性方程组的直接方法 内容提要 5.1 引言与预备知识 5.2 高斯消去法 5.3 矩阵三角分解法 5.4 向量与矩阵的范数 5.5 误差分析 关于线性方程组的数值解法一般有两类： 1、直接解法：经过有限次的算术运算，可求得方程组精确 解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由 于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组 的近似解。本章主要研究此类问题的解法。 2、迭代法：用某种极限过程去逐步逼近现行方程组精确解 的方法。迭代法具有需要计算机的存储单元较少、程序设计 简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。 5.2 高斯消去法 （一）高斯消去法 在求解三角方程组,得 高斯消去法的条件 （二） 高斯主元素消去法 列主元消去法 5.3 矩阵三角分解法 Ax=b是线性方程组,A是n×n方阵,并设A的各阶顺序主 子式不为零。令 A(1)=A,当高斯消元法进行第一步后,相当于 用一个初等矩阵左乘A(1) 。不难看出，这个初等矩阵为 重复这个过程，最后得到 一般地 这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为 两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要 定理。 当A进行LU分解后，Ax=b就容易解了. 即Ax=b等价于: 追赶法 在一些实际问题中， 例如解常微分方程边值问题，热传导方程以及船体数学放样中建立三次样条函数等，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组 其中|i-j|1时,aij=0,且满足如下的对角占优条件: (1)|b1||c1|0,|bn||an|0 (2)|bi|≥|ai|+|ci|, aici≠0, i=2,3,…,n-1. 5.5 向量和矩阵的范数 定义1 ( 向量范数) x 和 y 是 Rn 中的任意向量 , 向量范数‖?‖是定义 在 Rn上的实值函数, 它满足: (1) ‖ x ‖≥0, 并且当且仅当 x=0 时, ‖ x ‖=0; (2) ‖k x ‖=|k| ‖ x ‖, k 是一个实数; (3) ‖ x + y ‖≤ ‖ x ‖+ ‖ y ‖ 常使用的向量范数有三种,设 x=(x1,x2,…,xn)T 常使用的矩阵范数有三种,设 x=(x1,x2,…,xn)T 5.6 误差分析 知 识 结 构 图 五 直 接 法 解 方 程 组 高斯消 去法 矩阵的正交三 角化及应用 定义 常用范数 范数的性质 初等反射阵 平面旋转变换矩阵 矩阵的QR分解 应用：求解超定方程组 高斯消去法 高斯若当消去法 列主元消去法 矩阵三角 分解法 LU分解 平方根分解 LDLT分解 追赶法解三对角方程组 向量和矩 阵的范数 矩阵条件数及迭代改善法 第六章解线性代数方程组 的迭代法 内容提要 6.1 引言 6.2 基本迭代法 6.3 迭代法的收敛性 也就是 AX=b 低阶稠密的线性方程组用直接法(如高斯消去法和三角分解法)是有效的，但对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组,利用迭代法求解是适合的。 考虑线性方程组 6.1 引言 大型稀疏非带状的线性方程组(n很大,且零元素很多.如偏微方 程数值解产生的线性方程组,n≥104)的求解问题？ 在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可以利用A中有大 量零元素的特点。 本章将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯—塞德尔 迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收敛性。 机动 上页 下页 首页 结束 研究生公共课程数学系列 * *