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图7-18 计算尺度伸展后系数C 第五步：对于所有缩放，重复第一至第四步。 小波缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子 scale 越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，也就是信号的高频部分；缩放因子 scale 越大， 表示小波越宽，度量的是信号的粗糙程度，也就是信号的低频部分。 2. 离散小波变换（DWT） 在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数， 将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数， 就会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换。通常离散小波变换（Discrete Wavelet Transform， DWT）就是指双尺度小波变换。 离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 由Mallat于1988年提出(Mallat算法)。实际上是一种信号分解的方法，在信号处理中常称为双通道子带编码。 具体概念如图7-19所示。S表示原始的输入信号， 通过两个互补的滤波器组， 其中一个滤波器为低通滤波器， 通过该滤波器可得到信号的近似值 A（Approximations），另一个为高通滤波器， 通过该滤波器可得到信号的细节值D（Details）。 图7-19 小波分解示意图 在小波分析中，近似值是由大的缩放因子计算出的系数，表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算出的系数，表示信号的高频分量。实际上，信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。例如一个人的声音，如果把高频分量去掉，听起来会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。 由图7-19看出,离散小波变换可以表示成由低通和高通滤波器组成的一棵树。原始信号经过一对互补的滤波器组进行的分解称为一级分解，分解过程也可以不断进行下去， 进行多级分解。如果对高频分量不再分解，而对低频分量继续分解，就可以得到不同分辨率下的低频分量， 称为信号的多分辨率分析。如此进行下去， 就会形成图7-20所示的信号的小波分解树（Wavelet Decomposition Tree）。 图7-20 多级信号分解示意图 （a） 信号分解； (b) 小波系数； （c）小波分解树 对于一个信号，采用图7-19所示的方法，理论上产生的数据量将是原始数据的两倍。根据奈奎斯特（Nyquist）采样定理， 可用下采样的方法来减少数据量，即在每个通道内（高通和低通通道）每两个样本数据取一个， 便可得到离散小波变换的系数（Coefficient），分别用cA和cD表示，如图7-21所示。图中 表示下采样。 ↓ 图7-21 小波分解下采样示意图 3. 小波重构 将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要根据需要把信号恢复出来，也就是利用小波分解系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构（Wavelet Reconstruction）或叫做小波合成（Wavelet Synthesis）。其数学运算叫做逆离散小波变换（Inverse DWT， IDWT）。 图7-22 小波重构算法示意图 1）重构近似信号与细节信号 由图7-22可知，由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原始信号。同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号的近似值或细节值，这时只要把另一半系数置为零即可。 图7-23 是对第一层近似信号或细节信号进行重构的示意图。 图7-23 重构近似和细节信号示意 （a） 重构近似信号； (b) 重构细节信号 2）多层重构 在图7-23中，重构出信号的近似值A1与细节值D1之后，则原信号可用A1＋D1＝S重构出来。对应于信号的多层小波分解，小波的多层重构如图7-24所示。信号重构中，滤波器的选择非常重要，关系到能否重构出满意的原始信号。分解滤波器组（L 和 H）及重构滤波器组（L′和H′）构成一个系统， 称为正交镜像滤波器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系统， 如图7-25所示。 图7-24 多层小波重构示意图 ( A3＋D3＝A2；A2＋D2＝A1；A1+D1＝S ) 图7-25 多层小波分解和重构示意图 4. 小波包分析 小波分析是将信号分解为近似与细节部分，近似部分又可以分解成第二层近似与细节，可以这样重复下去。对于一个N层分解来说，有N+1个分解信号的途径。而小波包分析的细节与近似部分一样，也可以分