数学分析(定积分概念).PPTVIP

第9章 定积分 定积分概念 牛顿—莱布尼茨公式 可积条件 定积分的性质 微积分学基本定理·定积分计算（续） 可积性理论补叙* 第9.1节 定积分概念 (Conceptions of definite Integrals) 问题的提出 定积分的定义 定积分的几何意义 一、问题的提出（Introduction) 三、定积分的几何意义 小结 返回 后页 前页 a b x y o 实例1 曲边梯形的面积问题(Area Problem) 要解决两个问题:一个是给出面积的定义;一个是找出计算面积的方法.微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算. 曲边梯形： a b x y o a b x y o 用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 解决问题的基本思路：局部以“直”代 “曲”，即 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 (i)分割 (ii)作积 (iii)求和 曲边梯形面积的近似值为 (iv)取极限 积分和或黎曼和 分割的模 实例2 变速直线运动的路程问题 把整段时间分割成若干小段；每小段上速度看作不变，求出各小段的路程近似值；相加得到路程的近似值；最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． 对于匀速运动：路程=速度?时间 解决该问题的思路：局部以“匀速”代替“非匀速” (i)分割 (iii)求和 (iv)取极限 (ii)作积 并称 J 为 f 在 [a,b]上的 及任意 定积分,记作 二、定积分的定义(Definition of Definite Integral) 定义 被积函数 被积表达式 积分变量 积分上限 积分下限 黎曼和 [a,b]—积分区间 注意 (i) (ii) (iii) (iv) 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求 f (x)在每个小区间 [xi–1, xi] 上变化不大, 这相当于 要求 f (x) 有某种程度上的连续性. (v) [a, b]上的一致连续性, 可证f (x)在[a, b]上可积. 以后将知道f (x)在[a, b] 上连续时, 利用f (x)在 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 a b x y o o y a b x 例1 利用定义计算定积分 解 为方便起见, 则 于是 解 例2 x 1 y 面积值为圆的面积的 解 证 利用对数的性质,得 极限运算与对数运算换序,得 故 解答 原式 思考题 将和式极限表示成定积分. １. 定积分的实质 ：和式的极限． ２.定积分的思想方法： 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 取点、求和 积零为整 分割 化整为零 取极限 精确值——定积分 与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关 在 上连续，则定积分 的值 4. 中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2. 及x轴所围成的曲边梯形 的面积，用定积分表示为 与直线 由曲线 举例 2 -2 [-2,2] 0 A 3.定积分 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．