数学必修函数的单调性.PPTVIP

1．3.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 目 标 要 求 1.了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法． 2．能用文字语言和数学符号语言正确描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点. 热 点 提 示　　 本节是研究函数的单调性及其应用，学习时应注意以下几点：(1)要结合特殊函数实例，利用图象的形象直观，从感性上认识函数图象具有上升或下降的变化趋势；(2)函数单调性是用严谨的、定量的数学符号语言描述地，必须结合实例准确地把握；(3)判断或证明函数单调性，需要综合运用其他知识(如不等式、因式分解、配方法、数形结合等)，应注意复习相关知识. 1．增函数 (1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D称为函数f(x)的单调递增区间． (2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是上升的．如下图所示． 2．减函数 (1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为函数f(x)的单调递减区间． (2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是下降的．如右图所示． ●想一想：在增、减函数定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？ 提示：不能．如下图所示，虽是f(－1)f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不单调． 3．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 1.函数y＝f(x)的图象如右图所示，其增区间是(　　) A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：观察图象知函数在[－3,1]上递增． 答案：C 2．函数y＝－x2的单调增区间为(　　) A．(－∞，0]　　　　　　 B．[0，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解析：函数y＝－x2的图象开口向下，以x＝0为对称轴，由图象易知y＝－x2在(－∞，0]上为增函数，故选A. 答案：A 3．函数f(x)在R上是减函数，则有(　　) A．f(3)f(5)　　　　　 B．f(3)≤f(5) C．f(3)f(5) D．f(3)≥f(5) 解析：∵函数f(x)在R上是减函数，35， ∴f(3)f(5)． 答案：C 答案：(－∞，1] 5．求证：函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函数． 证明：设0≤x1x2，则 f(x1)－f(x2)＝2x12－2x22 ＝2(x1－x2)(x1＋x2)． ∵0≤x1x2， ∴x1－x20，x1＋x20. ∴f(x1)f(x2)． ∴函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函数． 思路分析：作为证明单调性的要求，不能只作简单定性分析，还要用定义严格证明． 解： 类型三　　　　已知函数的单调性求参数取值范围 【例3】　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围． 思路分析：由题目可获取以下主要信息： ①所给函数为二次函数，且含有参数； ②函数在区间(－∞，4]上是减函数． 解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解． 解：∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 ＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x＝1－a. ∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]． 又∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合． ∴1－a≥4，解得a≤－3. (1)二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便． (2)已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法． 3　本例中，若将函数“在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？ 解：由例题知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]， ∴1－a＝4，a＝－3. 类型四　　　　函数单调性的应用 【例4】　已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)f(1－x)，求x的取值范围． 思路分析：首先明确x－2,1－x在函数的定义域内，列出不等式组求x的取值范围；再由函数是增函数，利用“若f(x1)f(x2)，则x1x2”求x的取值范围，两者取交集即可． 温馨提示：由于函数f