数学必修函数的最大值和最小值.PPTVIP

第2课时　函数的最大值、最小值 目 标 要 求 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义． 2．会求一些简单的函数最大值或最小值. 热 点 提 示 1.利用函数的单调性确定函数最值是一种常用方法． 2．感悟数形结合的思想. 1．函数的最大值 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标． 温馨提示：①定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”一词的理解． ②对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式． 2．函数的最小值 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标． 3．函数的最值 (1)定义：函数的最大值和最小值统称为函数的最值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最值是图象最高点或最低点的纵坐标． (3)说明：函数的最值是在整个定义域内的性质． ●想一想：从图象上看，函数的最大值、最小值在什么位置取得？ 提示：最大值(最小值)是函数的整体概念，从图象上看，最大值(最小值)是整个函数图象的最高点(最低点)． 答案：C 2．函数f(x)＝9－ax2(a0)在[0,3]上的最大值为(　　) A．9 B．9(1－a) C．9－a D．9－a2 答案：A 3．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最小值为________． 答案：3 4．函数f(x)＝2x＋1在[0,1]上的最大值是a，最小值是b，则a＋b＝________. 解析：a＝f(1)＝3，b＝f(0)＝1，则a＋b＝3＋1＝4. 答案：4 类型一　　　　利用图象法求最值 【例1】　已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)画出f(x)的图象； (2)根据图象写出f(x)的最小值． 思路分析：(1)讨论x与±1的大小，化解析式为分段函数解析式形式； (2)函数图象最低点的纵坐标是f(x)的最小值． (2)由图象，得函数的最小值是2 图象法求函数y＝f(x)最值的步骤： (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)依据函数最值的几何意义，借助于图象写出最值． 1　求函数y＝|x＋1|－|2－x|的最值． 解： 思路分析：先用定义研究函数在区间上的单调性，再求最值． 温馨提示：运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法． (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法． (2)函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； 若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． 类型三　　　　二次函数的最值问题 【例3】　求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 思路分析：解答本题可先求出f(x)的对称轴x＝a，然后就a与区间[0,2]的关系进行讨论，分别求出f(x)的最大值和最小值．当0≤a≤2，即对称轴x＝a在区间[0,2]内时，求函数的最大值，应再细分为0≤a1和1≤a≤2讨论． 解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. (1)当a0时，由图①可知， f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a； (2)当0≤a1时，由图②可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a； (3)当1≤a≤2时，由图③可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(0)＝－1； (4)当a2时，由图④可知， f(x)min＝f(2)＝3－4a， f(x)max＝f(0)＝－1. (1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间的单调性． (2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系． 3　求函数f(x)＝x2－(2＋6a2)x＋3a2在区间[0,1]上的最小值m(a)和最大值