数学思想与数学文化——数学思想方法介绍(,).PPTVIP

《数学思想与数学文化》之第三讲—— 一. 前 言 ☆数学建模的过程：模型准备---模型假设---模型建立---模型求解---模型检验---模型应用 ☆ 成功的MM: a）解释已知现象； b）预言未知现象； c）被实践所证明。 ☆数学模型的意义： a)对所研究的对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果； b)任何一项数学的应用，主要或首先就是数学模型方法的应用。 * * 数学思想方法介绍 内 容 一.前言 二.中学数学中常用的数学方法 三.几类常用的数学思想方法介绍 1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法 5.化归法 6.数学模型方法 附：参考文献 ☆ 数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。 ☆ 数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。 ☆ 二者关系--- 数学思想直接支配着数学的实践活动。数学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起指导作用。 ◆数学方法具有三个基本特征： （1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。 ◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用： （1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。 数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法 ? 数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法 数学解题的思维方法 ◆ 数学推理方法（演绎法、归纳法、类比法） ◆ 分析法与综合法 ◆ 数学实验方法 ◆ 数形结合方法 ◆ 关系影射反演原则（换元法、初等变换方法） 二. 中学数学中常用的数学方法 数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法 中学数学中几种常用的具体方法 ◆ 待定系数法 ◆ 配方法 ◆ 基本量法 ◆ 递推法 有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法 例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造法等； 2. 逻辑性思想方法 例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法 例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与系统等。 事实上，数学思想方法是有层次的。 操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维的角度上看，层次是逐渐上升的。 三. 几类常用的数学思想方法介绍 1. 演绎法或公理化方法（逻辑思维方法） ☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据是三段论。 ☆演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。 ☆演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。 ☆公理化方法的例子： 欧几里德《几何原本》，希尔伯特《几何学基础》 柯尔莫哥洛夫《概率论基础》 ZFC《公理化集合论》 2.类比法（数学创造发现的方法） ☆类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上相似。 ☆三个层次：描述、说理、数学上的类比。 ☆数学上的类比：两个系统，如果它们各自的部分之间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有共性，那么，这两个系统就可以类比。 ★ 例子： 1）线段、三角形、四面体 2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式 3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数 ＋、－ 、× 带余除法 算术基本定理 多项式 ＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理 3. 归纳法（逻辑学中的方法） 与数学归纳法（数学中的一般方法） ☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22n+1, Fermat素数：3，5，17，257，65537)； 2)Goldbach猜想（1742年）。 ☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题， 如果（1）P(n) 当n=1时成立；