数学思想与数学文化——_数学思想方法介绍(,).PPTVIP

☆数学建模的过程：模型准备---模型假设---模型建立---模型求解---模型检验---模型应用 ☆ 成功的MM: a）解释已知现象； b）预言未知现象； c）被实践所证明。 ☆数学模型的意义： a)对所研究的对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果； b)任何一项数学的应用，主要或首先就是数学模型方法的应用。 ☆精彩范例： 力学：牛顿万有引力定律； 电磁学：麦克斯韦方程组； 化学：门捷列夫元素周期表； 生物学：孟德尔遗传定律… ☆数学模型应用日益广泛的原因： a) 社会生活的各个方面日益数量化； b) 计算机的发展为精确化提供了条件； c) 很多无法试验或费用很大的试验问题，用数学模型进行研究是一 条 捷径。 附： 参考文献 [1] 王子兴．数学方法论．中南工业大学出版社．2002 [2] 徐利治．数学方法论选讲（第三版）．华中理工大学出版社．2000 [3] 姜启源等．数学模型（第三版）．高等教育出版社．2003 几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指几何概率概念本身：在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。从不同方面考虑，可得不同结果：⑴．由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。2) 由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。3) 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。而此悖论在提出概率公理化后发现根本都不是问题！！ 本节结束 谢 谢 《数学思想与数学文化》之第三讲—— 数学思想方法介绍 内 容 一.前言 二.中学数学中常用的数学方法 三.几类常用的数学思想方法介绍 1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法 5.化归法 6.数学模型方法 附：参考文献 一. 前 言 ☆ 数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。 ☆ 数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。 ☆ 二者关系--- 数学思想直接支配着数学的实践活动。数学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起指导作用。 ◆数学方法具有三个基本特征： （1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。 ◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用： （1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。 数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法 ? 数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法 数学解题的思维方法 ◆ 数学推理方法（演绎法、归纳法、类比法） ◆ 分析法与综合法 ◆ 数学实验方法 ◆ 数形结合方法 ◆ 关系影射反演原则（换元法、初等变换方法） 二. 中学数学中常用的数学方法 数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法 中学数学中几种常用的具体方法 ◆ 待定系数法 ◆ 配方法 ◆ 基本量法 ◆ 递推法 有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法 例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造法等； 2. 逻辑性思想方法 例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法 例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与系统等。 事实上，数学思想方法是有层次的。 操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维的角度上看，层次是逐渐上升的。 三. 几类常用的数学思想方法介绍 1. 演绎法或公理化方法（逻辑思维方法） ☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据是三段论。 ☆演绎法的重要性：1）数