第8章欧氏空间讲述.ppt

8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵 8.5 酉空间 8.6 酉变换和对称变换 8.1 向量的内积 解析几何中的内积 内积的定义 内积的简单性质、向量的长度 柯西施瓦兹不等式、向量的夹角 有关长度与距离的几个性质 8.2 正交基 正交基 标准正交基 施密特正交化方法 正交补 正射影 ( 最佳逼近 ) 正交矩阵 欧氏空间的同构 8.3 正交变换 正交变换的定义和例子 有关正交变换的几个定理 正交变换与内积 正交变换与夹角 正交变换与规范正交基 正交变换关于规范正交基的矩阵 V2 和 V3 上的正交变换的类型 正交变换的定义和例子 定义1 (保持长度) 若欧氏空间V上的线性变换 s 满足: ?x?V, 都有 | s (x) | = | x | , 则称 s是一个正交变换. 例1 设 s: V2→ V2 x → s (x) 把 x 旋转角 j . 则 s 是正交变换. 例2 令 H 是 V3 的过原点的一个平面. 设 s: V3→ V3 x → s (x) . s (x) 是 x 对于 H 的镜面反射. 则 s 是正交变换. ( 如图所示 ) 有关正交变换的几个定理 定理8.3.1 (正交变换?保持内积)设 s ?L(欧V), 则 s 是正交变换 ? ?x,h?V, 有 s(x) , s(h) = x , h . 问题 (正交变换?保持距离)设 s ?L(欧V), 则 s 是正交变换 ? ?x,h?V, 有d ( s(x) , s(h) ) = d ( x , h ) . V2 和 V3 上的正交变换的类型 V2的正交变换的类型 V3的正交变换的类型 退出本节 所以b1 ,, b2, ... , bk-1, bk 也满足定理的要求, 证毕. 由假设bi 可由 a1, a2, ... , ai 线性表示, 所以把这些组合代入上式，就得到bk = a1a1+ ... +ak-1ak-1 +ak , 即bk 是 a1, a2, ... , ak 的线性组合. 又a1, a2 , ... , ak 线性无关, 故 bk?0, 又由假设 b1, b2, ... , bk-1 两两正交, 所以 此方法叫施密特正交化方法 设 {a1, a2 , ... , an} 是 n 维欧氏空间 V 的任意一个基, 则能由此法得到一个正交基{b1, b2 , ... , bn}, 再令g1= bi / |bi|, 就得到一个规范正交基{g1, g2 , ... , gn}. 退出本节 定理8.2.3 任意 n (n0) 维欧氏空间一定有正交基，因而有规范正交基.使得 bk 可由 a1, a2, ... , ak 线性表示, k=1, 2, ... , m. 例4 在欧氏空间R3里, 对于基 a1= (1, 1, 1) , a2 = (0 ,1 ,2) , a3 =(2, 0, 3)施行正交化方法, 求规范正交基. 注意 在上述正交化过程中，将每一步所求得的向量 bi 直接单位化，可使计算简化. 第一步，取 解： 退出本节 第二步，取 然后令 第三步，取 然后令 这里｛g1, g2, g3｝就是R3的一个规范正交基. 本节首页 D x 与 W正交: 设 W 是欧氏空间 V 的非空子集. 若对?x ?V， x 与 W 的每一个向量都正交, 就称x 与 W正交，记为x, W = 0.  D W┴ = {x ?V | x , W = 0}.  显然 0?W┴ , 故 W┴非空.  又设 a, b?R, x, h?W┴ , 则对?a?W,  ax +bh, a = a x, a + b h, a = 0  因而ax +bh ? W┴ ，所以W┴是V 的一个子空间. 退出本节 先看: 设W是 V3 里过原点的平面，对?x ?V3都可以分解为 x 在 W 上的正射影与一个垂直于W的向量之和. W O x h z 退出本节 定理8.2.4 令 W 是欧氏空间 V 的一个有限维子空间. 则 V = W ? W