无穷大,小及极限运算.PPTVIP

思考题： 求下列极限 内容小结 无穷小量和无穷大量的概念及性质 怎么判断一个量是不是无穷小量及无穷大量 无穷小量和无穷大量之间的关系 无穷小量的运算性质 注意事项 * 无穷小量，无穷大量 及 极限的运算 当 一、 无穷小量 定义1 . 若 时 , 函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 时为无穷小. 则称函数 时的无穷小量. 为 注意: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 显然 C 只能是 0 ! C 时 , 函数 (或 ) 则称函数 为 定义1. 若 (或 ) 则 时的无穷小 . 2. 无穷小不是很小的数, 无穷小量是一个变量 3、无穷小量是对自变量的某个变化过程说的。 1.零是无穷小 判断下列函数在 是不是无穷小量 判断下列函数在 是不是无穷小量 二、 无穷大量 时 , 函数 (或 ) 则称函数 为 定义2. 若 (或 ) 则 的无穷大量 理解： 包含 和 两种情况。 注意: 1. 无穷大不是很大的数, 无穷大量是一个变量 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 注意： （3）无穷大量是对自变量的某个变化过程 说的。 不能！ 三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 四、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 定理2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小? 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小? 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小? 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 练习： 答案：（1）（4）（6）是无穷小量 （2）（5）是无穷大（3）的极限值是1 答案：（1)(2)(4)都是0.（3）是无穷大 无穷小量和无穷大量都与自变量 的变化过程有关的变量。 三个基本的数列极限： 数列极限的运算法则 复习数列极限的运算法则： 函数极限的四则运算运算法则 (2)lim f(x)?g(x)=lim f(x)?lim g(x)=A?B? 推论1 如果lim f(x)存在? 而c为常数? 则 lim[c?f(x)]=c?limf(x)? 推论2 如果limf(x)存在? 而n是正整数? 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n ? 定理 如果 lim f(x)=A? lim g(x)=B? 那么 (1)lim[f(x)?g(x)]=limf(x)?limg(x)=A?B? 二个基本的函数极限： 求极限举例 讨论 提示 例1 解 例2 解 解 例3 解 例4 根据无穷大与无穷小的关系得 因为 先用x3去除分子及分母? 然后取极限? 解 先用x3去除分子及分母? 然后取极限? 例5 解: 例6 讨论 提示 例7 解 所以