方程组矩阵角分解.PPTVIP

2、对称正定线性方程组的解法 线性方程组 -------------(10) -------------(11) 则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组 -------------(12) -------------(13) ------(14) ------(15) 对称正定方程 组的平方根法 例. 用平方根法解对称正定方程组 解: 174 13 29 25 6 29 = ) , ( b L 174 13 29 25 6 29 即 = ) , ( y L T * * 1、基本的三角分解法(Doolittle法) 1．直接三角分解法 第3节 矩阵三角分解法 上式可记为 同样,由 综合以上分析,有 因此可以推导出 U的第一行 L的第一列 ------(1) ------(2) U的第r行 L的第r列 ------(3) ------(4) 称上述(1) ~ (4)式所表示的分解过程为Doolittle分解 思考 对于线性方程组 系数矩阵非奇异,经过Doolittle分解后 线性方程组可化为下面两个三角形方程组 上述解线性方程组的方法称为 直接三角分解法的 Doolittle法 例. 用Doolittle法解方程组 解: 由Doolittle分解 ? - = - = 1 1 r j j rj r r y l b y 1 1 b y = Doolittle法在计算机上实现是比较容易的 但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间: 因此可按下列方法存储数据: 直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示: 存储单元(位置) 紧凑格式的 Doolittle法 例. 用紧凑格式的Doolittle法解方程组(例1) 解: 1 1 b y = ? - = - = 1 1 r j j rj r r y l b y ? - = - = 1 1 r j j rj r r y l b y 1 1 b y = 所以 2、列主元Doolittle分解 在Doolittle法(包括紧凑格式)中,会反复用到公式 仍有可能为小主元做除数 为此,我们也要考虑在算法中加入选取列主元 我们下面介绍紧凑格式的Doolittle列主元法 符号因换行只代 表存储位置,与原 数值可能有差异 依此类推 列主元Doolittle法步骤: 第一步: 例. 用列主元Doolittle法解线性方程组 解: 所以原 方程组 的解为 思考 试用列主元Doolittle法解矩阵方程 并设计自然语言的算法 2. 平方根法 1、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解) 记为 -------------(1) 因此 Diagonal:对角 为非奇异下三角阵 为非奇异上三角阵 ----------(2) --------(3) 因此 所以 综合以上分析, 则有 -------------(4) -------------(5) 定理1. (Cholesky分解) 且该分解式唯一 这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解 -------------(6) -------------(7) -------------(8)