第8章：非线性规划讲述.ppt

第 2 章：非线性规划模型 2.1 基本概念和基本原理 一、什么是非线性规划： 目标函数和约束条件中有非线性函数的规划问题。 二、非线性规划问题的特点 局部最优点不是全局最优点。 三、极值问题 1、一元函数 y=f(x) ： ① 极值点存在的必要条件：f’(x)=0，此时求出的 x0 为驻点。 ② 极值点存在的充分条件： a. 若在驻点 x0 附近f’’(x0)0，则该点 x0 为极大值点。 b. 若在驻点 x0 附近f’’(x0)0，则该点 x0 为极小值点。 2、多元函数 y=f(X)=f(x1,x2,…,xn)：在 X0 附近作泰勒展开，得 四、凸函数与凹函数： 1、定义：y=f(x) 是En中某凸集R上的函数 ① 对???[0,1]及?X1、X2 ?R，且 X1≠X2 若f[?X1+(1-?)X2]≤?f(X1)+(1-?)f(X2) ，则f(x)为R上的凸函数。 若f[?X1+(1-?)X2]＜?f(X1)+(1-?)f(X2) ，则f(x)为R上的严格凸函数。 ② 对???[0,1]及?X1、X2 ?R，且 X1≠X2 若f[?X1+(1-?)X2]≥?f(X1)+(1-?)f(X2) ，则f(x)为R上的凹函数。 若f[?X1+(1-?)X2]＞?f(X1)+(1-?)f(X2) ，则f(x)为R上的严格凹函数。 2、性质：fi(X) 为凸集R上的凸函数，则对?ki≥0，i=1,2,…,m，有 k1f1(X)+k2f2(X)+…+kmfm(X)仍为凸函数。 3、凸函数的判定：f(X) 定义在凸集R上， a.若f(X)有连续的一阶导数， 则f(X)为凸函数 ? 对?X1、X2 ?R，有f(X2)≥f(X1)+(X2-X1)?f(X1)T f(X)为严格凸函数 ? 对?X1、X2 ?R，有f(X2)＞f(X1)+(X2-X1)?f(X1)T b.若f(X)有连续的二阶导数， 则f(X)为凸函数 ? H为半正定。 f(X)为严格凸函数 ? H为正定。 4、凸函数的局部极值与全局极值的关系 若目标函数在可行域中为凸函数，则其极值点为最优值点； 若目标函数在可行域中为严格凸函数，则其极值点为唯一最优值点。 五、凸规划： 1、定义：非线性规划 2.2 无约束条件下单变量函数寻优 一、消去法原理： 逐步缩小有哪些信誉好的足球投注网站区间，直至极值点存在的区间达到允许的误差范围为止。 设要寻求f(X)的极小值点为 X* ，起始有哪些信誉好的足球投注网站区间为[a0,b0]。 ?x1、x2 ?[a0,b0]，且x2＜x1，计算 f(x1)和f(x2)，并且比较结果： 二、黄金分割法(0.618法)：是一种常用的消去法 与对分法、Fibonacci法比较，具有计算次数少，过程简单的特点。 2.3 无约束条件下多变量函数寻优 一、爬山法原理： 通过点的直接移动，逐步改善目标函数取值，直至达到极值点为止。 由以下二部分组成： ① 选定有哪些信誉好的足球投注网站方向； ② 在选定的方向上爬山有哪些信誉好的足球投注网站。 2.4 有约束条件下多变量函数寻优 一、具有等式约束的极值问题： 1、消元法：n元非线性规划 S=f(X)=f(x1,x2,…,xn) s.t. gk(X)=0, k=1,2,…,m, mn 若可从m个s.t.中解出m个变量xi=h(xm+1,xm+2,…,xm), i=1,2,…,m, 代入目标函数中消去m个变量，则问题变为一个求n-m个变量函数的 无约束条件的极值问题。 2、拉格朗日(Lagrangian)乘子法：n元非线性规划 S=f(X)=f(x1,x2,…,xn) s.t. gk(X)=0, k=1,2,…,m 其中，拉格朗日乘子?k的经济意义： 影子价格 --- 单位资源的目标增量 S=f(X)=f(x1,x2,…,xn) s.t. gk(X)=bk, k=1,2,…,m 3、罚函数(代价函数)法：对 n 元非线性规划问题 S=f(X)=f(x1,x2,…,xn) s.t. gk(X)=0, k=1,