概率与统计中心极限定理.PPTVIP

§5.2 中心极限定理 在数理统计中经常要用到n个独立同分布的随机变量 的和 的分布, 但要给出其精确分布有 时很困难. 正态分布具有可加性，若 则: 标准化后得 因此: 定理5.5 独立同分布的中心极限 则对任意的 有 设 是独立同分布的随机变量序列, 且 应用 当 充分大时 n 例1 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他 解 设第 段的测量误差为 所以累计误差为 又 为独立同分布的随机变量, 由 得 分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从 区间 上的均匀分布, 试求总距离测量误差的 绝对值超过 厘米的概率. 由独立同分布情形下的中心极限定理: 定理5.5中限定条件得到如下定理5.6 定理 5.6 则对任意的 有 即当 充分大时, 近似服从标准正态分布. 随机变量序列,且 令 设 是一个独立同分布的 例2. 在次品率为1/6的一大批产品中, 任意取出300件产品, 利用中心极限定理, 计算抽取的产品中次品数在40到60 之间的概率. 解 以 表示300件产品中次品的总数, 由题意得 此时, 由中心极限定理得 例3. 有一批钢材, 其中80%的长度不小于3m, 现从钢材 中随机取出100根, 试利用中心极限定理求小于3m的钢 不超过30根的概率. 解 以 为100根钢材中小于3m的钢材根数, 由题意知: 则 例4. 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用 解 令 表示在时刻 时正在开动的机器数, 则 可以表 示在400次相互独立的重复实验试验中事件“ ”发生的次 电 瓦, 由于工艺关系, 每台机器并不连续开动, 开动的 时候只占工作总时间的 问应该供应多少瓦电力能 99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作 期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）. 数, 由前面所讨论的知: 及 因 由中心极限定理知, 对 由条件所设, 所求的概率为 而 为标准正态分布的分布函数, 查表得 任意的 有 即: 从而 即: 只要供应 瓦的电力, 就能以99%的把握保证该 车间的机器能正常工作. 例5. 为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件 解 以 表示第 个部件的称量误差, 设分成n个部件 从而 来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: ）服从区 间 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 试 问至多分成多少个部件才能以不低于99%的概率保证 机床的称量总误差的绝对值不超过10. 所以 例6. 某单位有200台分机, 每台使用外线通话的概率 为15%, 若每台分机是否使用外线是相互独立的, 问该 单位至少需要装多少多少条外线, 才能以95%的概率保 保证每台分机能随时接通外线电话. 解 以 表示在时刻 使用的外线数, 则 此时有 若以 表示安装的外 线数, 则分机能使用外线意味着此时有 由 中心极限定理得: 查表得: 即: 所以可取 方能以95%的把握保证在该时刻分机可以使用外 线. * 练习Ch7_19. * 练习Ch7_19.