概率统计和随机过程课件维随机变量及其分布.PPTVIP

Clear[f,x,y] f[x_,y_]:=Exp[-(x^2+y^2)/2]/(2Pi) Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},ViewPoint-{-2.869, 1.790, 0.110}, AspectRatio-0.6,PlotPoints-30]; * * * 令 B 为正定矩阵， * 则 * 作 业 习题三 2，3，4，8，9 * 第三章 二维随机变量及其分布 在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两 个或两个以上的随机变量来描述. 例如用温度和 风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷 量的测定来研究钢的成分. 要研究这些随机变量 之间的联系, 就需考虑若干个随机变量, 即多维 随机变量及其取值规律——多维分布. * §3.1 二维随机变量及其分布 定义 设?为随机试验的样本空间， 则称二维向量( X , Y )为二维随机变量 或二维随机向量 二维随机变量及其分布函数 讨论： 二维随机变量作为一个整体的概率特性 其中每一个随机变量的概率特性与整体的 概率特性之间的关系 * 二维随机变量的联合分布函数 定义 设( X , Y ) 为二维随机变量，对于任何 一对实数( x , y ), 事件 定义了一个 二元实函数 F ( x , y )，称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数，即 (记为 ) 的概率 * 分布函数的几何意义 如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量 (X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的角形区域的概率 x y (x, y) * 联合分布函数的性质 x y (x, y) x y * x y x y -? * 固定 x , 对任意的 y1 y2 , F (x,y1) ? F (x,y2) 固定 y , 对任意的 x1 x2 , F (x1,y) ? F (x2,y) F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0) F (x0 , y0) = F (x0, y0 + 0 ) F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) ? 0 事实上 F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) = P (a X ? b , c Y ? d) a b c d 对每个变量单调不减 对每个变量右连续 对于任意的a b , c d * 例1 设 讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布 函数？ 解 x y x+ y = 1 ? (0,0) ? (2,0) ? (2,2) ? (0,2) 故 F (x, y)不能作为二维随机变量的分布函数 * 注意 对于二维随机变量 x y a c (a,c) (a,+?) (+?,+?) (+?,c) * 定义 若二维随机变量(X ,Y )的所有可能的 取值为有限多个或无穷可列多个, 则 称(X ,Y ) 为二维离散型随机变量. 要描述二维离散型随机变量的概率特性及其与 每个随机变量之间的关系常用其联合概率分布 和边缘概率分布 二维离散型随机变量及其概率特性 * 联合概率分布 设( X ,Y )的所有可能的取值为 则称 为二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率分布或联合 分布律，也简称概率分布或分布律 显然， * 二维离散型随机变量的联合分布函数 已知联合分布律可以求出其联合分布函数 反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律 * 例3 把三个球等可能地放入编号为1，2，3 的 三个盒子中，每盒容纳的球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数，Y 为落入 2 号盒的 球数，求 ( X , Y ) 的联合分布律； P (X = Y ), P (Y X ); 解 联合分布律的求法：利用乘法公式 常用列表的方法给出 * (1) 本例中， 其联合分布如下表所示 * X Y pij 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 * (2) 由表可知 * 例4 把3 个红球和3 个白球等可能地放入编号为 1，2，3 的三个盒子中, 每盒容纳的球数无 限, 记 X 为落入1号盒的白球数, Y 为落入 1 号盒的红球数. 求( X ,Y )的联合分布律. 解 见下表 * X Y pij 0 1