概率论与数理统计课件().PPTVIP

一维随机变量函数的定义与实质 本章内容回顾 而 求导得: 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 . 其中， x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 . 定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度 fX(x)的连续型随机变量,又设y=g(x)处处可导且严格单调，则Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为 此定理的 证明与前 面的解题 思路类似 证：若X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是 x的严格单增函数 FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤g-1(y)} =FX(g-1(y)) =FX(h(y)) ?Y的概率密度为 则 当αyβ时，Y的分布函数为 fY(y)=F ?(h(y))=fX(h(y)) h ?(y) 证：若X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是 x的严格单减函数 FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y}=P{X≥g-1(y)} =1-FX(g-1(y)) =1-FX(h(y)) ?Y的概率密度为 则 当αyβ时，Y的分布函数为 fY(y)=F ?(h(y))=－fX(h(y)) h ?(y) 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 当X～N(0,1)时， P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544 P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974 正态分布的3σ准则 将上述结论推广到一般的正态分布, 可以认为，Y 的取值几乎全部集中在 区间内. 这在统计学上称作“3 准则” . ~N(0,1) 当X～N(μ,σ2)时， (P47)例2-23 设 X?N(? , ? 2),求P{? -3? X ?+3?} 在工程应用中，通常认为 P{|X|≤3}≈1， 忽略{|X|3}的值. 如在质量控制中，常用标准指标值±3?作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常. 标准正态分布的上侧α分位数 设 若数 满足条件 则称点 为 标准正态分布的上侧α分位数. 常见上侧α分位数与正态分布表的反查 设随机变量 X ~ N(0, 1) , 若P{Xu0.025}=0.025，求 u0.025 解：P{Xu0.025}=1- ?(u0.025) ?(u0.025) ＝1－0.025=0.975 u0.025=1.96 解 P(X≥ h)≤0.01 或 P(X h)≥ 0.99， 下面我们来求满足上式的最小的h . 看一个应用正态分布的例子: 例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定? 设车门高度为h cm,按设计要求 因为 X～N(170,62), 故 P(X h)= 查表得 (2.33)=0.99010.99 因而 = 2.33, 即 h=170+13.98 184 设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01. P(X h ) 0.99 求满足 的最小的 h . 所以 . 这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布.即均匀分布、指数分布、正态分布. 其中正态分布的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道. 后面第五章中，我们还将介绍为什么许多随机现象都近似服从正态分布 . 四、小结 2.4 随机变量函数的概率分布 问题的提出 离散型随机变量函数的概率分布 连续型随机变量函数的概率分布 小结 一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 求截面面积 A= 的分布. 比如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 再比如 ，已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布， 求功率 W=V2/R ( R 为电阻）的分布等. (P50) 设X一个随机变量，若 y＝g(x)是给定的一元实连续函数，则Y＝g(X)称为随机变量X的函数， Y也是一个随机变量。 当 X= x ，则 Y =g(x) 设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g(x) 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 下面进行讨论. 这个问题无论在实践中还是在