概率论函数的分布.PPTVIP

二、连续型随机变量函数的分布 * * 2.5 r.v. 函数的分布 方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件 问题: 已知 r.v. X 的分布律或p.d.f. fX(x), 求随机变量Y= g(X)的分布律或密度函数fY(y) 一、离散型随机变量函数的分布律 若g(xk)中有一些是相同的,则将它们作并项. 一般，若X是离散型 r.v., X的概率分布为 X ～ 则 Y=g(X) ～ 例1 已知 X 的概率分布为 X pk -1 0 1 2 求 Y 1= 2X – 1 与 Y2= X 2 的分布律 解 Y1 -3 -1 1 3 Y2 1 0 1 4 X pk -1 0 1 2 Y 2 0 1 4 pk Y 1 pk -3 -1 1 3 故 求 Y = g( X ) 的p.d.f. 方法1、 “分布函数法” 已知 X 的p.d.f. p(x) 或分布函数 例2 r.v.X的密度函数为 求(1)Y=2X, (2)Z=eX的密度函数 解:(1) (2)Z=eX 解:(2) 当z≤0时, 当z 0时, X∈(-∞,+∞) 时, Z=eX∈(0,+∞) 0 ≥ ? z ≠ 0 例3.设X?U(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。 当y 0时, 当0≤y 1时, 当y≥1时, 解 X∈(-1,1) 时, Y=X 2∈(0,1) 练习. 设X?U[1,2],求Y=e2X的概率密度 当y e2时, 当e2≤y≤e4时, 当y e4时, 解 X∈[1,2] , Y=e2X∈[e2, e4] e2 e4 y Y≤y x=1 x=2 x= 定理1 若X～fX(x),y=g(x)是单调可导函数，则 注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用 以上公式推求Y的密度函数； 2 注意定义域的选择; 3本质: 其中x=h(y)为y＝g(x)的反函数. 方法 2、“公式法” 一般地 例4 求 的密度函数 解： 设 即服从柯西分布 关于x严格单调,反函数为 例5.已知X?N(?,?2),求 解： 的概率密度. 关于x严格单调,反函数为 故 (－∞ y +∞) 即 Y?N(0, 1) 例6 已知 X 的 p.d.f.为fX(x), Y=aX+b a、b为常数，且 a ? 0, 求 fY ( y ) 解 当a 0 时， 当a 0 时， 故 例如 设 X ~ N (? ,?2) , Y = a X +b, 则 Y ~ N ( a? +b, a2?2 ) 特别地 (前例5)，若 X ~ N ( ? ,? 2) , 则 例7 设X ~ N(0,1),Y=X 2,求fY(y) 解 [ y y [ 当 y 0 时，FY (y) = 0 当 y ? 0 时， ] [ X∈(－∞, +∞), Y=X 2∈(0, +∞) 作业：P43 24，26(提示)，27(1)，39 * * *