概率论基础版数字特征与特征函数.PPTVIP

第四章 数字特征与特征函数 §1 数学期望 本节书面作业 §2 方差、相关系数、矩 相关系数的性质 [定义4.2.5] 设x 和h是随机变量, (1) 若Ex k ,(k = 1,2,…)存在,则称它为x的k阶原点矩,简称k阶矩. (2)若E[x -Ex]k, (k=1,2,…)存在,则称它为x 的k阶中心矩. (3)若E(x k h l) (k,l=1,2,…)存在,则称它为x 和h的k+l阶混合矩. (4)若E[x -Ex]k[h -Eh]l (k,l=1,2,…)存在,则称它为x和h的k+l阶混合中心矩. n维正态分布的性质 本节书面作业 特征函数是处理许多概率论问题的有力工具. 它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算转换成乘法运算. 它能把求分布的各阶原点矩(积分运算)转换成微分运算. 它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题. 它能完全决定分布函数. 它具有良好的分析性质函数． 三、特征函数的性质 四、分布函数的再生性 本节书面作业 习题四（P245） 第 1-2、5-2、7-2、11-2、14 15、23、25、28、31题 §5 特征函数 一、特征函数的定义 [定义1] 设x 与h是某概率空间的实值随机变量，则称z= x +ih为复随机变量。 [注] （1） Ez= Ex +iEh [注] （2）欧拉公式 Cov(x,h)=Exh –Ex Eh 可见，若x与h独立， Cov(x,h)= 0 . [计算协方差的一个简单公式] 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(x,h)=E[x－Ex][h－Eh ] =Exh－ExEh－EhEx＋ExEh =Exh－ExEh 即 若x1, x2 , … , xn两两独立,，有 D(x+h)= Dx +Dh+ 2Cov(x,h) 随机变量和的方差与协方差的关系 特别 n维随机变量 的协方差矩阵 令 此时 此时下列矩阵称为 的协方差矩阵: 简记为: 可证明B是一个非负定矩阵 协方差的数值在一定程度上反映了x与h相互间的联系,但它受x与h本身数值大小的影响.如令x * = k x , h *= kh,这时x *与h *间的相互联系和x与h的相互联系应该是一样的,但是 Cov(x *,h *)=k2Cov(x,h) 为了克服这一缺点,在计算x与h的协方差之前,先对x 与h 进行标准化: 再来计算x *和h *的协方差，这样就引进了相关系数的概念. 五、随机变量的相关系数 [定义4.2.3] 设二维随机变量(x,h)的方差Dx0,Dh0,协方差Cov(x,h)均存在,则称 为随机变量x与h的相关系数(correlation coefficient). [注意] 当x=C 时，认为x与任意随机变量h的相关系数为0。 [定理4.2.1(柯西-施瓦兹不等式)] 对于二维随机向量(x,h),若Ex2,Eh2存在,则有 |Exh|2≤Ex2Eh2 证明 考虑实变量t的二次函数 h(t)=E[(tx－h)2]=t2 Ex2－2tExh+Eh2 因为对一切t,有(tx－h)2≥0,所以h(t)≥0. 从而二次方程h(t)=0或者没有实根,或者只有重根,因而，由二次方程根的判别式知识得 |Exh|2≤Ex2Eh2 性质1 随机变量x和h的相关系数满足|rxh|≤1. 性质2 |rxh|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得 P{h =a+bx}=1. 性质3 若x与h相互独立,则rxh=0. 性质1 随机变量x和h的相关系数满足|rxh|≤1. 证明 令 则 从而|rxh|≤1. 性质2 |rxh|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得 P{h=ax+b}=1 证明 令 由rxh2=[E(x*h*)]2≤E(x*2)E(h*2)=1 知|rxh|=1等价于[E(x*h*)]2－E(x*2)E(h*2)=0 它又等价于h(t)=E[(tx*－h*)2]=0有重根t0. 又因为E(t0x*－h*)=t0E(x*) －E(h*)=0 所以D(t0x*－h*) = 0,由方差的性质知它等价于 P{t0x*－h* =0}=1,即P{h =ax＋b}=1 其中a=t0σ(h)/σ(x),b=E(h) － t0 E(x) σ(h)/σ(x). 性质3 若x与h相互独立,则rxh=0. 证明 若x与h 相互独立,则E(xh)=ExEh, 又 Cov(x,h)= E(xh) －ExEh,所以 相关系数的含义 考虑以x 的线性函数a＋bx 来近似表示