概率论与数理统计教程课后习题答案概率().PPTVIP

§3.1 二维随机变量及其联合分布 §3.2 边缘分布与独立性 复习与小结 解 (1)采取有放回摸球时， 的联合分布与边缘分布由下表给出： 5/9 4/9 5/9 5/9×5/9 5/9×4/9 1 4/9 4/9×5/9 4/9×4/9 0 1 0 　(2) 　采取无放回摸球时， 的联合分布与边缘分布由下表给出： 5/9 4/9 5/9 5/9×4/8 5/9×4/8 1 4/9 4/9×5/8 4/9×3/8 0 1 0 　(2) 　采取无放回摸球时， 的联合分布与边缘分布由下表给出： 二维连续型随机变量的边缘分布 的边缘分布函数为 　X的边缘概率密度为 　Y的边缘概率密度为 求导可得 边缘概率密度 积分结果不含y -----------由 f(x, y)求 fX(x)和 fY(y))： 例 设（X, Y）的联合密度为 求k和边缘密度 同理 解 边缘密度和概率的计算 例 设（X, Y) 的联合密度为 （1）求k (2) 求X和Y的边缘密度 （3）求概率P(X+Y-1) 和P(X1/2) (1) (2) 同理 均匀分布 (3) 1 -1 化重积分为累次定积分 下面我们借助于随机事件的相互独立性概念，引进随机变量的相互独立性. 二、随机变量的独立性 定义3.4 设 及 分别是二维随机变量 的联合分布函数及边缘分布函数，若对一切 ，都有 ， 即 ，　　 (3.13) 则称随机变量 和 是相互独立的. 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于 ★ ★ 则称 X与 Y相互独立. 若对任意的实数集D1和 D2 定义 随机变量的相互独立 在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用. ? 在X与Y是相互独立的前提下， 由联合分布可求边缘分布； 由边缘分布也可求联合分布！ 实际意义 补充说明 设（X，Y）的概率分布（律）为 2/5 1/5 2/5 pi . 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 p. j 2 0 -1 X Y 证明：X、Y相互独立。 例 证 ∵X与Y的边缘分布律分别为 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y 于是直接验证知 ∴X、Y相互独立 （i, j=1，2，3） 例 设（X，Y)的概率密度为 求 (1)P（0≤X≤1 ，0≤Y≤1） (2)(X,Y)的边缘密度， （3）X、Y是否独立。 解 ① 设A={（x，y）：0≤x≤1 ，0≤y≤1）} ， P（0≤ X ≤1 ， 0≤ Y≤1） ② 边缘密度φX（x）和 φY（y）为 ③ 已知 可验证，对一切 x，y ，都有 因而 X 与 Y 相互独立。 设（X,Y)服从矩形域 上的均匀分布，求证 X 与 Y 独立。 例 时 解 于是 同理 所以 即 X 与 Y 独立。 离散型随机变量的条件分布 条件分布律具有一维分布律的性质 联合分布律唯一确定条件分布律，要求条件分布律，只须先求出边缘分布律，然后将联合概率除以边缘分布的概率即可. 连续型随机变量的条件分布密度 的条件下 的条件分布密度为 在 ; . 的条件下 的条件分布密度为 在 两个随机变量的函数的分布 设 是二维随机变量, 其联合分布密度为 是随机变量 的二元函数 的分布函数 的密度函数 例 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为 求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数 解 o z 两个独立随机变量的和的分布 如果X与Y相互独立 作业P70 8； 10 * * 华南农业大学理学院