正方形的定义可知正方形不仅是特殊的平行边形.PPTVIP

* 正方形的定义可知：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它们的包含关系如图(1)：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　矩形、菱形、正方形都是有特殊条件的平行四边形。由 　从图(1)中可以知道，平行四边形包含了矩形、菱形、正方形、而正方形又被包含在矩形和菱形中，因而要判定一个四边形是正方形，可以从两步来着手，一步先判定四边形是矩形，再一步判定这个矩形又是菱形； 　或者：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形。 范例精讲 例1：已知：如图(2)，点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点， 求证：四边形ABCD是正方形。　　　  分析（1）你能证明四边形是矩形吗？ 　　　 　　　（2）你能证明四边形是菱形吗？？  　　　 　　　（3）你能证明四边形是正方形吗？？ 　请大家完成证明 证明： ∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB＝BC， ∠A＝∠B＝90°又∵AD‘＝AD　AA’＝A‘B＝AB　BB’＝BC∴AD’＝AA’＝A‘B＝BB’∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45° ∴∠D‘A’B‘＝180°－∠1－∠3＝180°－45°－45°＝90°同理：∠A’B‘C’＝90°　∠B‘C’D‘＝90°∴四边形A’B‘C’D‘是矩形 　 在△D’AA‘和△A’BB‘中 ∴△DAA≌△ABB(SAS)∴AD＝AB∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) 练习：求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。　　 已知：如图(3)，四边形ABCD中对角线 　　　AC、BD相交于点O，且AC＝BD， 　　　AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD。　 求证：四边形ABCD是正方形。 请大家先根据题意，画出图形然后写出已知，求证， 求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。　　 已知：如图(3)，四边形ABCD中对角线  证明： ∵AO＝CO,BO＝DO ∴四边形ABCD是平行四边形  　又AC＝BD ∴平行四边形ABCD是矩形 又∵AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形， 即四边形ABCD是正方形 解题小结： 正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。它没有明确的判定定理，要判定一个四边形是正方形，基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形。因而得到这个四边形是正方形。事实上，我们可以把本例作为正方形的一个判定定理：即：即角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 AC、BD相交于点O，且AC＝BD，AO＝CO， BO＝DO，AC⊥BD。求证：四边形ABCD是正方形。 例2．已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D　　　　　的平分线组成四边形ABCD，  分析： 判定一个四边形是正方形可以选择：   求证：四边形ABCD是正方形。 下面请大家进行证明。 (1)先证明它是矩形，再证它有一组邻 边相等； (2)先证明它是菱形，再证它有一个角等于90° 已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的 平分线组成四边形ABCD，  证明：在四边形ABCD中 求证：四边形ABCD是正方形。 又∵AB‘＝BD’ 且AA‘＝BA’(已证)AB－AA＝BD－BAAB＝AD∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) ∵AB、BD、CD、DB分别平分∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA ∴∠B＝∠D＝90° ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45° 　AD＝BC∴△ABD≌△BDC　(ASA)∴AB＝BD＝CD＝DB同理可证：∠DAB＝∠DCB＝90且AA＝BA＝CC＝DC∴四边形ABCD是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形) *