河北大学信号与线性系统分析.PPTVIP

奇异函数的相关： 作业 2.4 （3） 2.13 2.17 （1）（3）（7） 2.24 解释： 2 .任意信号作用下的零状态响应 yf(t) f (t) 根据h(t)的定义： δ(t) h(t) 由时不变性： δ(t -τ) h(t -τ) f (τ)δ(t -τ) 由齐次性： f (τ) h(t -τ) 由叠加性： ‖ f (t) ‖ yf(t) 卷积积分 过程： 把任意信号分解为基本单元信号（这里是指冲激信号）； 研究系统对基本单元信号的零状态响应（这里是指冲激响应） ； 根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本单元信号单独作用于系统时所引起的零状态响应迭加起来。 3 .卷积积分的定义 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分 为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。 解释： 例：f (t) = e t,（-∞t∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)， 求yf(t)。 解： yf(t) = f (t) * h(t) 当t τ，即τ t时，ε(t -τ) = 0 4.卷积积分限的确定 二、卷积的图解法 卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 下面举例说明。 注意：t为参变量。 例1 f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。 [解] 采用图形卷积 。 f ( t -τ) f (τ)反折 f (-τ)平移t ① t 0时 , f ( t -τ)向左移 f ( t -τ) h(τ) = 0，故 yf(t) = 0 ② 0≤t ≤1 时, f ( t -τ)向右移 ③ 1≤t ≤2时 ⑤ 3≤t 时 f ( t -τ) h(τ) = 0，故 yf(t) = 0 h(t)函数形式复杂 换元为h(τ)。 f (t)换元 f (τ) ④ 2≤t ≤3 时 0 图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。 例2：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？ f1(-τ) f1(2-τ) 解： （1）换元 （2） f1(τ)得f1(–τ) （3） f1(–τ)右移2得f1(2–τ) （4） f1(2–τ)乘f2(τ) （5）积分，得f(2) = 0（面积为0） 1 1 t 0 1 2 1 0 解： (1) 换元 1 1 0 1 2 1 0 例3 已知 求 1 0 -2 t 1 0 -2＋t 1 1 0 -2＋t 1 1 -2＋t (2) 折叠 (3) 位移 (4)相乘、积分 1 1 0 -2＋t 1 1 0 -2＋t 1 1 -2＋t 本例采用确定卷积积分限的公式计算较为简便: 由于卷积运算像乘法运算一样满足分配定律,因此 必须注意，在书写中以上各项的延迟阶跃函数不能丢失！ 2.4 卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积代数 满足乘法的三律： 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： 证明：利用卷积的定义比较容易得到 例如：两个子系统并联 等效为： 3. 结合律： 这里，两次卷积运算是一个二重积分，只要改变积分次序即可证明此定律。（证明过程略） 例如：两个子系统级联 等效为： 二、奇异函数的卷积特性 1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) 证明： f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0) 2. f(t)*δ’(t) = f’(t) 证明： f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*ε(t) ε(t) *ε(t) = tε(t) 几个重要推论： 根据函数与冲激函数卷积的性质及其卷积的 交换律和结合律可得以下重要结论： 解： 例1. 已知输入f(t), h(t)如图，求f(t)*h(t) -2 2 0 (1) (1) t t 1 A 0 0 2 3 -1 -2 A t f(t)*