河北大学信号与线性系统分析五.PPTVIP

第五章 连续系统的s域分析 利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换 5.3 拉普拉斯逆变换 直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -----结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为 若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。 由于L-1[1]=?(t)， L-1[sn]=?(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为 式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。 （1）F(s)为单极点（单根） 例1: 例2: 特例：若F(s)包含共轭复根时(p1,2 = –?±j?) K2 = K1* 由复频移和线性性质得F1(s)的原函数为 对于F(s)的一对共轭复极点s1=-α+jβ和s2=-α-jβ，只需要计算出系数K1=|K1|ejφ(与s1对应)，然后把|K1|、φ、α、β代入上式，就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。 例3： 求象函数F(s)的原函数f(t)。 解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2= –1，s3,4= ?j1 ，s5,6= – 1?j1，故 K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= –1 K3= (s – j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej(?/2) ,K4=K3*=(1/2)e-j(?/2) K5= (s+1 – j)F(s)|s=-1+j= K6=K5* （2）F(s)有重极点（重根） 若A(s) = 0在s = p1处有r重根， K11=[(s –p1)rF(s)]|s=p1， K12=(d/ds)[(s –p1)rF(s)]|s=p1 例: 5.4 复频域系统分析 拉氏变换是分析线性连续系统的有力数学工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程，便于运算和求解；同时它将系统的初始状态自然地包含于象函数方程中，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可一举求得系统的全响应。本节讨论拉氏变换用于LTI系统分析的一些问题。 设二阶连续系统的微分方程为 式中，a0、a1和b0、b1、b2为实常数；f(t)为因果信号，因此，f(0-)、f’(0-)均为零。设初始时刻t0=0, y(t)的单边拉普拉斯变换为Y(s)，对上式两端取单边拉普拉斯变换，根据时域微分性质，得 一、微分方程的变换解 分别令 只与初始值y(0-)，y’(0-)有关，与系统输入无关，因此是系统零输入响应yx(t)的单边拉氏变换。 只与系统输入有关，而与初始值y(0-)，y’(0-)无 关，因此是系统零状态响应yf(t)的单边拉氏变换。 A(s)称为系统的特征多项式，A(s)=0称为系统的特征方程， A(s)=0的根称为特征根。 对上式取单边拉普拉斯逆变换，就得到系统的完全响应y(t)、零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)， 即 * 5.1 拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析 频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意 信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅立叶变换，如e2tε(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅立叶变换推广到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 5.1 拉普拉斯变换 一、从傅立叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅立叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-?t(?为实常数）乘以信号f(t) ，适当选取?的值，使乘积信号f(t) e-?t当t?∞时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-?t的傅立叶变换存在。 相应的傅立叶逆变换 为 f(t) e-?t= Fb(?+j?)= ?