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四、信号的时频分析 时频分析的基本任务是建立一个函数，要求这个函数不仅能够同时用时间和频率描述信号的能量分布密度，还能够以同样的方式来计算信号的其他特征量。这里只是简单介绍当前广泛采用的时频分析方法：短时傅里叶变换（STFT）、魏格纳分布（WD），小波变换（WT）及时频分析的一些应用。 1、 短时傅里叶变换 （1）短时傅立叶变换原理 短时傅立叶变换是研究非平稳信号最广泛使用的方法。假定我们听一段持续时间为1h的音乐，在开始时是有小提琴，而在结束时有鼓。如果用傅立叶变换分析整个1h的音乐，傅立叶频谱将表明对应小提琴和鼓的频率的峰值。频谱会告诉我们有小提琴和鼓，但不会给我们小提琴和鼓什么时候演奏的任何表示。最简单的做法是把1h划分成每5min一个间隔，并用傅立叶变换分析每一个时间间隔。在分析每一个时间间隔时，就会看到小提琴和鼓出现在哪个5min间隔。如果要求更好的局部化，那就把这1h划分成1min一个间隔，甚至更小的时间间隔，再用傅立叶变换分析每一个间隔。这就是短时傅立叶变换的基本思想：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以确定在哪个时间间隔存在的频率，这些频谱的总体就表现了频谱在时间上是怎样变化的。 为了研究信号在时刻 t 的特性，人们加强在那个时刻的信号而衰减在其它时刻的信号。这可以通过用中心在 t 的窗函数h（t）乘信号来实现。产生的信号是： xt（?）=x （?）h （?-t） 改变的信号是两个时间函数，即所关心的固定时间 t 和执行时间 ? 。窗函数决定留下的信号围绕着时间t大体上不变，而离开所关心时间的信号衰减了许多倍，也就是 因为改变的信号加强了围绕着时刻 t 的信号，而衰减了远离时刻 t 的信号，傅立叶变换将反映围绕着 t 时刻的频谱，即 对于每一个不同的时间，都可以得到一个不同的频谱，这些频谱的总体就是时频分布Psp（t，f）。 我们关心的是分析围绕着时刻 t 的信号，所以选择一个围绕着 t 具有峰值的窗函数。这样就可以在 t 时刻附近得到一个短持续时间信号，其傅立叶方程（上式）叫做短时傅立叶变换。下式确定的Psp（t，f）函数曲面图叫时频分布图。 下图为鲸鱼发出的声音表示。画在主图左边的曲线是鲸鱼声音信号的时域波形，它清楚地告诉我们鲸鱼声强度或者响度怎样随时间而变化。在主图下面的曲线是能量谱密度，即傅立叶变换的绝对值平方。它表明哪些频率存在，以及它们的相对强度有多大。 这个声音的频谱告诉我们频率范围大约从175Hz到325Hz。这个信息是有意义而且重要的，但是根据这个频谱告诉无法知道这些频率什么时候存在。例如，不可能通过观察频谱确切知道300Hz声音在什么时候产生，或者产生这个声音的总持续时间，或产生了多少次。主图反映了信号能量的时间频率联合分布密度，由此就可以确定作为时间进程的强度。这使我们能够了解各个时刻发生的情况： 频率大约从175Hz开始，大体上在0.5s左右的时间内线性地增加到大约325Hz，然后停在那里约0.1s的时间，等等。作为对300Hz声音什么时候出现这个问题的回答，现在从图中可以知道在0.6s和1.3s出现两次。 另外，在现实生活和工程实际中许多信号是暂态信号(非稳态信号)、其统计特性与时间有关．如语言信号、雷达信号、超声波信号等，这些信号不满足傅氏变换所要求的条件。傅立叶变换公式获得信号频谱信息需要无限长的时间，即不仅需要过去而且需要将来的时间信号去估计一个单一频率的频谱。另外，傅立叶变换式不能反映与时间变量有关的频率信息。除此之外、非稳态信号很可能在一个短时瞬间发生变化．即具有很强的时间局部性，并对整个频谱产生影响，很难从信号的频谱上确认这种时域内的瞬时变化的存在及其确切的频率信息。也就是说其傅氏变换的结果既不能有效地提供暂态信号的频域信息．也不能揭示暂态信号的时间特性。因此．暂态信号很难用傅氏变换进行分析。 下图 a 所示为一白噪声信号中夹杂一个脉冲信号。二者分别为典型的稳态信号和暂态信号。该信号的频谱如图 b 所示。很难在频谱中看出脉冲信号的存在，这是因为白噪声信号是均匀的宽带频谱，而脉冲信号也具有宽带特性．只不过是其带宽取决于脉冲信号的作用时间。 可采用“短时傅立叶变换”来对暂态信号进行分析。窗函数w(t)在整个信号上沿时间平移并且完成了连续重叠变换时，就可以得到与时间有关的信号频谱的描述。图9-2所示为STFT的连续重叠加窗示意图。该方法假定在一个有限的时窗w(t)内信号是稳态