版高中全程复习方略配套课件：函数的单调性与最值(人教A版·数学理)浙江专用.PPTVIP

【例2】(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是______. (2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在［0,2］上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小. 【解题指南】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解. (2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在［0,2］上的单调性或［-2,2］上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小. 【规范解答】(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)f(m2)， 则有:2-mm2,即m2+m-20. 解得:m-2或m1. 所以m的取值范围为:(-∞,-2)∪(1,+∞). 答案：(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称， ∴函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称， 又y=f(x-2)在［0,2］上单调递减, ∴函数y=f(x-2)在［2,4］上单调递增， 因此,y=f(x)在［0,2］上单调递增， 又f(-1)=f(1),012,∴f(2)f(-1)f(0). 方法二：由方法一可得函数y=f(x)在［-2,2］上图象的大致形状为 由图象知f(2)f(-1)f(0). 【互动探究】若将本例(1)中条件变为:f(x)为［0,4］上的增函数，则m的取值范围如何？ 【解析】由题意知： 解得： ∴1m≤2. 【反思·感悟】1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))f（h(x)）”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域. 2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解. 【变式备选】已知函数f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1． (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3； (3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)＜2恒成立，求实数n的取值范围． 【解析】(1)设x1,x2∈R，且x1＜x2，则x2-x10， ∴f(x2-x1)＞1 ， f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1＞0, ∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)在R上是增函数. (2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3, ∴不等式f(3m2-m-2)＜3即为 f(3m2-m-2)＜f(2). 又∵f(x)在R上是增函数， ∴3m2-m-2＜2，解得 因此不等式的解集为{m| }； (3)令a=b=0,得 f(0)=2f(0)-1,∴f(0)=1. ∵f(nx-2)+f(x-x2)＜2， 即f(nx-2)+f(x-x2)-1＜1， ∴f(nx-2+x-x2)＜f(0)． 由(1)知nx-2+x-x2＜0恒成立， ∴x2-(n+1)x+2＞0恒成立． ∴ Δ=［-(n+1)］2-4×2＜0, 　　　　　　　　　求函数的最值 【方法点睛】 求函数最值的常用方法 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； （4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； （5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 【例3】(1)已知函数　　　　　　　　　　则f(x)在［　　］ 上的最大值为______，最小值为______. (2)函数 (x≥0)的最大值为______. (3)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为______. 【解题指南】(1)可用单调性法；(2)选用换元法，转化为二次函数求解最值.(3)画出图象求解. 【规范解答】(1)∵ 在［ ］上为减函数， ∴f(x)min=f(2)= f(x)max= (2)令 则 当 时 (3)由题意知函数f(x)是三个函数y1=2x， y2=x+2,y3=10-x中的较小者，作出三个 函数在同一