版高中全程复习方略配套课件：选修证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式.PPTVIP

用综合法或分析法证明不等式 【方法点睛】 1.综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见,分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以拓宽解题思路，开阔知识视野. 2.分析法的应用 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. 【例2】（1）已知a,b,c＞0且互不相等,abc=1.试证明: （2）已知a+b+c=1,求证： 【解题指南】(1)由于a,b,c＞0,abc=1,故 故本题可考虑利用基本不等式解决. (2)不等式左边为两两乘积的形式,而已知条件是a、b、c和的形式,因此将已知式两边平方,可得出a、b、c两两积及a2、b2、c2和的式子，然后再利用平均不等式将a2+b2+c2转化为a、b、c的两两积之和，得所证不等式. 【规范解答】方法一：∵a,b,c＞0，且互不相等，abc=1. 即 方法二： ∴以上三式相加，得 又∵a,b,c互不相等, ∴ 方法三:∵a,b,c是互不相等的正数，且abc=1, (2)∵a+b+c=1,∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 又∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, ∴将以上三个不等式相加，得 2（a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca). ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca. ∴1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca =3(ab+bc+ca), ∴ab+bc+ca≤ 【反思·感悟】本题条件中abc=1是解题的关键. 可以先利用“1”的代换，构造利用基本不等式的条件，然后 解决问题，也可以先利用基本不等式，然后通过“1”的代换 来建立 与 之间的大小关系的.因此在综合 法中，每一个题设条件所反馈出来的“信息”，都是至关重要 的，也都有可能成为解题的突破口. 【变式训练】设a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1. 求证:(1) (2) 【证明】(1)要证 由于a,b,c＞0, 因此只需证明(a+b+c)2≥3. 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3, 而ab+bc+ca=1, 故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca). 即证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 而这可以由ab+bc+ca≤ =a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得. ∴原不等式成立. (2) 在(1)中已证 因此要证原不等式成立,只需证明 即证 即证 而 ∴ (当且仅当a=b=c=33时等号成立). ∴原不等式成立. 【变式备选】(1)已知a＞0,b＞0,2c＞a+b. 求证： (2)已知a，b，m都是正数，并且a＜b.求证： 【证明】（1）方法一：（综合法） 因为a+b＜2c,所以a-2c＜-b. 又因为a＞0，所以a2-2ac＜-ab, 所以（a-c）2＜c2-ab,所以 所以 所以 方法二：（分析法） 要证 只需证 即证|a-c|＜ 即证(a-c)2＜c2-ab，即证a2-2ac＜-ab. ∵a+b＜2c，∴a-2c＜-b, 又a＞0,∴a2-2ac＜-ab显然成立. 故原不等式成立. （2）方法一:分析法 要证原不等式成立， 只需证b(a+m)＞a(b+m) 只需证bm＞am 只需证b＞a 已知上式成立，所以原不等式成立. 方法二:综合法 因为b＞a,m是正数，所以bm＞am 两边同时加上ab得b(a+m)＞a（b+m） 两边同时除以正数b(b+m)得 用反证法证明不等式 【方法点睛】 1.适宜用反证法证明的数学命题 (1)结论本身是以否定形式出现的一类命题； (2)关于唯一性、存在性的命题； (3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题； (4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题. 2.使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下： 反设词 结论词 反设词 结论词 至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x不成立 至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 至多有n-1个 存在某个x成立 至少有n 个 p