电动力学uniquenesstheorem唯性定理完全解读.PPTVIP

§2.2 唯一性定理 Uniqueness Theorem 2）有导体存在的情况 总结本节课的内容 * 学习“唯一性定理”的重要性 静电场的基本规律是建立在库仑定律基础之上的,原则上讲,用库仑定律可以求任意电荷分布的电场,但前提是要求空间所有的电荷分布必须已知. 现在的问题是,如果需要求解一个区域内的电场,区域内的电荷分布已经给定,而区域边界上的电荷分布却是未知的, 此时就不能利用库仑定律 例如 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中。 但具有一定的边界条件, 利用给定的边界条件去解静电场的泊松方程,这叫做静电场的边值问题. 边值问题的解法有许多种,如分离变量法、镜像法、格林函数法等等,问题是采用其中任何一种方法所得到的解是不是唯一的、正确的? 只有唯一性定理才能对此做出明确的回答,这就是我们必须要学好唯一性定理的原因. 对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。 静电势的微分方程 边值关系 复习上一节课的内容 导体表面上的边值关系 唯一性定理指出了必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一的、正确的,下面分两种情况进行讨论. 1) 　绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 在有限的边界区域V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i = 1、2、3 …) ，V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那么，当V 的边界面S 上的电势 给定(或电势的法向导数边界条件) ，则V 内的电场有唯一确定的解。 数学表述如下: (在每个小区Vi) (在整个区域V 的边界面S上给定,按约定,边界面法线 指向V 外) (在两种绝缘介质的分界面上) 分界面法向单位矢量 由 指向 ) 或 　　以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称为定解问题. 唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V 中静电场分布的唯一解. 它在每一个均匀小区内满足泊松方程,在任意两个均匀小区的分界面上满足边值关系,在整个区域V 的边界面上满足给定的边界条件 或 下面是对唯一性定理的证明。为了说理清楚，将证明分解成几步，首先证明区域V 中只有一种均匀介质的情况，然后再把它推广到多种介质分区分布的情形。 a)区域V 中只有一种均匀介质的情形 利用反证法证明:假设区域V 中存在两个不同的解 ?和?它们都能满足同一个泊松方程和边界条件,下面我们将证明它们只能是同一个解. 引入标量函数Φ ,令Φ = ? - ? ″ 在区域边界面S 上　 (给定第一类边界条件) (给定第二类边界条件) 或 下面需要证明的是,满足以上方程和边界条件的?和?顶多只能差一个常数. 利用矢量的微分运算公式: 等式两端对V 作体积分 式中 在边界面S 上,无论　 还是 ，都使 注意到 为非负数,欲使上式成立,只有 ,即Φ= C ,或?-?=C，以上说明?和?顶多差一个常数,而电势的附加常数对电场没有影响,这就证明了?和?在物理上是同一个解,于是,唯一性定理得证. b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 令Φ1 = ? 1- ?1″ 分别对应V1 区和V2 区 下面将证明,每一个区域的解都是唯一的. 对V1 区,设有两个解?1、?1 都满足V1 区的场方程和边界条件 在V1区的外边界1上　 或 给定第二类边界条件 给定第一类边界条件 约定, 为V1 区边界的法向单位矢量,指向V1 外部; 令Φ2 = ? 2- ?2″ 同理对V2 区,设有两个解?2、?2 都满足V2 区的场方程和边界条件 在V2区的外边界2上　 给定第一类边界条件 或 给定第二类边界条件 约定, 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部; 而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值关系 两式左右分别相减,得Φ1 = Φ2 又 两式左右相减，得： 为内边界上的法向单位矢,按约定由介质1 指向介质2 下面我们要证明, ?1和?1 , ?2和?2顶多都只能差一个常数 先看V1 区,利用微分恒等式 等式两端对V1 作体积分 式中 由高斯公式 其中S1 为V1 的边界面,它由外边界1 和内边界两部分组成,即 外边界1 内边界 由前所述,外边界1 上的面积分为零 同理,对区域V2 ,重复以上过程,可得到 内边界 内边界 内边界 内边界 内边界 内边界 两式分别相加得 内边界 内边界 由电势的边值关系,在内边界上 欲使上式