章图像复原.PPTVIP

第12章 图像复原 12.1 图像退化与复原 12.1.1 图像降质的数学模型　　图像复原处理的关键问题在于建立退化模型。输入图像f(x，y)经过某个退化系统后的输出是一幅退化的图像。为了讨论方便，把噪声引起的退化即噪声对图像的影响一般作为加性噪声考虑，这也与许多实际应用情况一致。如图像数字化时的量化噪声、随机噪声等就可以作为加性噪声，即使不是加性噪声而是乘性噪声，也可以用对数方式转化为相加形式。　　 　　原始图像f(x，y)经过一个退化算子或退化系统H(x，y)的作用，并且和噪声n(x，y)进行叠加，形成退化后的图像g(x，y)。图12-1表示退化过程输入和输出的关系。图中H(x，y)概括了退化系统的物理过程，就是所要寻找的退化数学模型。 图12-1 图像的退化模型 　　数字图像的图像恢复问题可看做：根据退化图像g(x，y)和退化算子H(x，y)的形式，沿着反向过程去求解原始图像f(x，y)，或者说是逆向寻找原始图像的最佳近似估计。图像退化的模型过程可以用数学表达式写成如下形式： 　　在这里n(x，y)是一种统计性质的信息。在实际应用中，往往假设噪声是白噪声，即它的频谱密度为常数，并且与图像不相关。　　在图像复原处理中，尽管非线性、时变和空间变化的系统模型更具有普遍性和准确性，更与复杂的退化环境相接近，但它给实际处理工作带来巨大的困难，常常找不到解或者很难用计算机来处理。因此，在图像复原处理中，往往用线性系统和空间不变系统模型来加以近似。这种近似的优点使得线性系统中的许多理论可直接用于解决图像复原问题，同时不失可用性。 　　下面介绍连续图像退化的数学模型。　　一幅连续图像f(x，y)可以看做是由一系列点源组成的。因此，f(x，y)可以通过点源函数的卷积来表示。即 　　把式(12-2)代入式(12-3)得 　　性质1 线性。设f1(x，y)和f2(x，y)为两幅输入图像，k1和k2为常数，则 　　(2) 如f2 (x，y)=0，则 　　对于线性空间不变系统，输入图像经退化后的输出为 　　此时，退化系统的输出就是输入图像信号f(x，y)与点扩展函数h(x，y)的卷积: 　　在频域上，式(12-11)可以写成： 　　式(12-11)和式(12-12)就是连续函数的退化模型。可见，图像复原实际上就是已知g(x，y)求f(x，y)的问题或已知G(u，v)求F(u，v)的问题，它们的不同之处在于一个是在空间域，一个是在频域。　　显然，进行图像复原的关键问题是寻找降质系统在空间域上的冲激响应函数h(x，y)，或者降质系统在频率域上的传递函数H(u，v)。一般来说，传递函数比较容易求得。因此，在进行图像复原之前，应设法求得完全的或近似的降质系统传递函数。要想得到h(x，y)，只需对H(u，v)求傅立叶逆变换即可。 12.1.2 离散图像退化的数学模型　　1. 一维离散退化模型　　设f(x)为具有A个采样值的离散输入函数，h(x)为具有B个采样值的退化系统的冲激响应函数，则经退化系统后的离散输出函数g(x)为输入f(x)和冲激响应h(x)的卷积，即 　　为了避免上述卷积所产生的各个周期重叠(设每个采样函数的周期为M)，分别对f(x)和h(x)用添0延伸的方法扩展成周期M=A+B-1的周期函数，即 　　输出为 　　因为fe(x)和he(x)已扩展成周期函数，故ge(x)也是周期性函数，用矩阵表示为 　　因为he(x)的周期为M，所以he(x)=he(x+M)，即 　　M×M阶矩阵H可写为 　　上式写成更简洁的形式： 　　2. 二维离散模型　　设输入的数字图像f(x，y)大小为A×B，点扩展函数h(x，y)被均匀采样为C×D大小。为避免交叠误差，仍用添0扩展的方法，将它们扩展成M=A+C-1和N=B+D-1个元素的周期函数： 则输出的降质数字图像为 　　用矩阵形式表示二维离散退化模型的方法是将g(x，y)和f(x，y)中的元素排成列向量。 　　Hi为子矩阵，大小为N×N，即H矩阵是由M×M个大小为N×N的子矩阵组成的，称为分块循环矩阵。分块矩阵是由延拓函数he(x，y)的第j行构成的，构成方法如下： 　　若把噪声考虑进去，则离散图像退化模型为 　　上述线性空间不变退化模型表明，在给定g(x，y)，并且知道退化系统的点扩展函数h(x，y)和噪声分布n(x，y)的情况下，可估计出原始图像f(x，y)。　　假设图像大小为MN=512×512=262 144，其相应矩阵H的元素个数也为262 144个，这意味着要解出f(x，y)，需要解262 144个联立方程组，其计算量十分惊人。考虑到矩阵H为循环矩阵，因此可利用循环矩阵的性质简化运算，限于篇幅，本书不做讨论。 　　　　　　　12