章维随机变量及其分布.PPTVIP

第一节 随机变量与分布函数 第二节 一维离散型随机变量 第三节 一维连续型随机变量 1.分布函数法: *例 若已使用了t小时的电子管在以后△t 小时内损坏的概率为 , 其中 是不依赖与t的数. 求电子管在x 小时内损坏的概率. 解: 设X为电子管的寿命, 按题意要求 P(X≤x)=F(x) 对于题中的“已使用了t小时的电子管在以后的 内损坏的概率”是一条件概率，即: 由条件概率公式得: 令 当t ≤0,时, P{X≤t}=0, 即F(t)=0, 由此推出c = 0 当t=x时,即有: 3.正态分布(又称Gauss分布) (1)定义 如果X的密度函数为: 其中μ,σ是常数,且σ0. 则 称X服从参数μ,σ的正态分布,记为 ;当μ=0,σ=1时，X~ N(0, 1)， 称为标准正态分布.其分布密度为 , 分布函数为 且: (2)正态分布具有下列性质: (i) f(x)的图象关于直线x=μ对称; (ii) (iii) f(x)在(-∞, μ]上递增, 在[μ,+∞)上递减, 在x=μ达到极大值: O 定理 设 ,F(x)是X的分布函数, 是标准正态分布的分布函数,则对任意实数x,有 证: *例 2.30 设 为分布密度,验证: 证明: 例 2.31 设 , 求 , 其中k=1, 2, 3. 解: 注 意: 可见, X落在“ ”之外的概率是很小的; （2）当X~N(0, 1) 时, P{|X| 3}= 99.73%, 故许多标准正态分布函数表中, x 的取值只到3, 当x 3 时,Φ(x)的值几乎等于1, 往往取作1. 若X~N(0, 1), 满足条件: 则称 为标准正态分布的上α分位点. 如下图所示.α点的求法是反查附表. O α 标准正态分布的临界点 例 试求标准正态分布的上 点 ( ) 解: 由题设: 反查附表上 点 一、一维离散型随机变量的函数的分布 设X是离散型随机变量, 其分布律为： P(X=xi)=pi(i=1,2,…), 且y=g (x) (1)如果当 xi≠xj时, g (xi)≠g (xj) (i≠j ), Y=g ( X ) 是一维离散随机变量, 它的分布律为: 第四节 随机变量函数的分布 (2)若有xi≠xj, 而g (xi)=g (xj),则必须将X取xi与xj 的概率作相应的合并. 关于二项分布,有 (1)二项分布是以n重贝努里试验为背景; (2)当n=1时,二项分布退化为(0-1)分布; (3)若(n+1)p不为整数, 则当k=[(n+1) p]时,P(X=k)取最大值; 若(n+1)p为整数, 则当k=(n+1) p和k=(n+1)p-1时, P(X=k)取最大值.使P(X=k)取最大值的k称为二项分布B(n, p)的最可能次数. 所以,若(n+1)p不为整数, 取k=[(n+1) p] ,若(n+1)p为整数, 取k=(n+1) p和k=(n+1)p-1, 此时P(X=k)取最大值. 定理1（poisson定理） 设随机变量序列Xn服从二项分布（n=1，2， … ）其分布列为 故当n很大时, p很小(一般是n≥10, p≤0.1)时, 有: 例 2.13 某人进行射击, 每次命中率是0.02, 独立射击400次, 求命中次数X≥2的概率. 解1: 把独立射击400次看成400重贝努里试验, 故 因此 解2: 因n=400比较大, p=0.02比较小, 故可以用普阿松分布来近似. 即 其中: λ=np=400×0.02=8. 例 2.14 有一汽车站, 每天都有大量汽车通过, 设每辆汽车在一天中的某一段时间内发生事故的概率为0.0001, 而在某一天的该段时间内有1000辆汽车通过, 试求发生事故的次数X2的概率. 解: X~ B(1000, 0.0001)，由于n=1000比较大， p=0.0001比较小，故可用普阿松分布来计算，其中λ= np=0.1. 例 2.15 某商店出售某种贵重商品, 根据以往经验,