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章线性方程组
三、证明题 (每小题8分,共24分). 四、向量组 线性无关,问常数 满足什么条件时,向量组 线性无关.(12分) 测试题B答案 * * * * 所以 x1, x2,?, xn-r 是齐次线性方程组Ax=0 的基础解系. x =x*= k1 x1+ k2 x2+?+kn-r xn-r可由 x1, x2,?, xn-r 线性表示. x ? x*=(d1, d2,?, dr, k1, k2,?, kn-r )T ? (k1 x 1+ k2 x 2+?+kn-r xn-r ) =(d1, d2,?, dr, k1, k2,?, kn-r )T ? k1 (? c1,r+1, ? c2,r+1, ?, ? cr,r+1, 1, 0, ?, 0)T ? k2 (? c1,r+2, ? c2,r+2, ?, ? cr,r+2, 0, 1, ?, 0)T ? ? ? kn-r (? c1,n , ? c2,n, ? , ? cr,n, 0, 0, ?, 1)T = (d1*, d2 *,?, dr *,0, 0, ? 0)T 是自由未知量 xr+1, xr+2, ?, xn 全部取0时的解,此时由(*)得 x1 = ? = xr =0, 即 d1*= d2 *=?= dr *=0,所以, x ? x*=0,即 例2.求方程组 Ax=O 的基础解系和一般解。其中 Ax=0的一般解为: x = k1 x1+k2 x2,即 x = k1(?3,1,0,0,0)T + k2(7,0, ?2,0,1)T 解 对A做初等行变换,将 A化为行简化阶梯形矩阵U: 选x1, x3,, x4为主元,x2, x5为自由未知量, 取x2=0, x5 =1,得x2=(7,0,?2,0,1)T, 取x2=1, x5 =0 得 x1=(?3,1,0,0,0)T。 r(A)=3, n-r=2 {x1,x2} 为Ax=0 一个基础解系 (k1,k2为 任意常数) r(B)=秩{ ?1, ?2 ,?, ?s }?n-r(A), 即 r(A)+r(B)?n 证:记 B=(?1, ?2 ,?, ?s) (?i 为B的第 i 列向量)。 由AB=0 ,得 A?i=0 (i=1,?, s),即?1, ?2 ,?, ?s都是Ax=0的解, 又Ax=0 的基础解系含n-r(A) 即个解, Ax=0 的任意一组解 中至多包含 n-r(A) 个线性无关的解,所以, 例3. 若Am?nBn?s=0, 则 r(A)+r(B)?n *例4 设A是m?n实矩阵,证明:r(AT A)=r(A). 证: 由秩的性质知 r(ATA) ? r(A),只需证明 r(ATA) ? r(A) 只要证明: ATAx=0的解集合包含于 Ax=0 的解集合 设(ATA) x=0 (x?Rn),则 xT(ATA) x= 0 ,即 (Ax)TAx= 0 . 令Ax= (b1, b2 ,?, bm) ?Rm(实向量),则 (Ax)TAx= b12+ b22 +?+bm2= 0 ,故必有b1=b2 =?= bm =0 , 即Ax=0 . 因此, ATAx=0的解必满足方程Ax=0, 所以, n – r(ATA) ? n – r(A), 即 r(ATA ) ? r(A). 例5. 设r(Bm?3)=2, ( m?3) 问: (1)a, b 满足什么条件时,将确保r(AB) =2; (2)A, B 满足什么条件时, r(AB) =1? 由 r(Bm?3)=2,不妨设B=(x1, x2, x3)。 若AB =(Ax1, Ax2, Ax3)=(0, 0, ?), 其中 ? ?0 ,则 r(AB) =1。 解:(1) 当|A|=ab?1?0 时,A满秩(可逆), r(AB)= r(B)=2 (2)当|A|=ab?1=0 时, A不可逆, r(A)=2 (因A中有两列不成比例) 即 x1, x2 是Ax=0 的解,而 x3 不 是Ax=0 的解。 由r(A)=2 知:x1, x2成比例(基础解系仅含一个解向量)。 但 x3, x2不成比例(否则x3 也是A x=0 的解,矛盾)。此时, r(B)= r{x1, x2, x3}=2 所以,当A, B 满足: ab=1 , B 的列向量中有两列是 A x=0 的解且 另一列不是Ax=0 的解时, r(AB) =1。 3.5 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构 设 A=(?1, ?2,,?, ?n), 则Ax
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