线性代数_线性方程组解的般理论.PPTVIP

思考题 * §2.5 线性方程组解的一般理论 一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构 则线性方程组的向量表达式为 令 ， ，…. n 个未知量，m 个方程的线性方程组 (1) =0 =0 : =0 (2) (1) (2) 系数矩阵与增广矩阵 则线性方程组的矩阵表达式为 非齐次 齐次 （1）当m=n时，克莱姆法则 ，有解, 有唯一解. 有无穷多解. ，无解, (2) 消元法 【问】r 刻画了矩阵什么属性？ r =r (A) 【逆否命题】线性方程组(1)无解的充要条件是 1、判定定理 推论1 线性方程组(1)有唯一解的充要条件是 推论2 线性方程组(1)有无穷解的充要条件是 推论3 线性方程组(2)仅有零解的充要条件是 推论4 线性方程组(2)有非零解的充要条件是 (§2.2 补充定理) 需证 一、线性方程组有解的判定定理 需证 2、上述判定方法与以前判定方法的比较 ① 对齐次线性方程组(2),若mn，则存在非零解。 ② 推论1 保证了克莱姆法则的正确性: 【说明】当mn时,一定有 ,则齐次线性方程组一定有非零解. n个未知量，n个方程的线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式 D≠0. 【说明】 D≠0,一定有 =r(ā) ,则线性方程组有唯一解. 例1 线性方程组 有解，证明: 行列式 1、 齐次线性方程组解的性质 n个未知量的线性方程组，每个解是一个n维向量， 性质 若?1与?2是齐次线性方程组(2)的解，则 c?1与 ?1 +?2都是方程组(2)的解, c为任意常数. 称为解向量，记做 ，代表 二、齐次线性方程组解的结构 2、 齐次线性方程组解的结构 定义－－基础解系 ：齐次线性方程组(2)的解 向量组的一个极大无关组，称为齐次线性方程组(2)的一个基础解系。(只有齐次线性方程组才有基础解系) 【注】基础解系中的向量应满足三点： ①是齐次线性方程组(2)的解； ②线性无关； ③可线性表示齐次线性方程组(2)的任一解。 推广 若?1,?2, …,?t是齐次线性方程组(2)的解，则 c1?1 + c2?2+ … +ct?t 是方程组(2)的解， ci为任意常数。 【注】①基础解系不唯一，若r(A)=r ,则任意n-r个线性无关的解向量都是一个基础解系， n-r即自由未知量的个数； ②若? 1,?2, … ?n-r是齐次线性方程组(2)的一个基础解系，则称 ?＝c1?1 + c2?2+ … +cn-r?n-r (其中c1 ,c2,… cn-r为任意常数)是方程组(2)的一般解或全部解，。 定理 2：若齐次线性方程组(2)系数矩阵A的秩r(A)=rn, 则该方程组有基础解系，并且基础解系中解向量的个数是n-r。 例2 求齐次线性方程组的一般解 解 A 令 得到基础解系 一般解 (c1, c2, c3为任意常数.) 1、 非齐次线性方程组解的性质 (1)定义－－导出组 ：非齐次线性方程组(1)中的常数项全换为0，得到齐次线性方程组(2)， (2) 称为(1)的导出组。 (2)性质1 若? 是(1)的解，?是其导出组 (2)的解，则 ? +? 是方程组(1)的解。 性质2 若?1与? 2是方程组(1)的解，则 ? 1 － ? 2 是其导出组 (2)的解。 三、非齐次线性方程组解的结构 方程组(1)的一个特解 定理3 若?0是方程组(1)的一个解，?是其导出组(2)的全部解，即 ?＝c1?1 + c2?2+ … +cn-r?n-r 其中? 1,?2, … ?n-r是齐次线性方程组(2)的一个基础解系，则方程组(1)的全部解或一般解为 ?＝ ?0+?＝ ?0+ c1?1 + c2?2+ … +cn-r?n-r ， 其中 ci为任意常数，i=1,2,…,n-r ，?0称为方程组(1)的一个特解。 2、 非齐次线性方程组解的结构 【注】方程组(1)与其导出组(2)解的关系 非齐次线性方程组(1)有唯一解 其导出组(2)仅有零解. 非齐次线性方程组(1)有无穷多解 其导出组(2)有非零解. ①导出组(2)有解 (1)有解. ②当非齐次线性方程组(1)有解时(前提条件) 例3 求解线性方程组，若是无穷解，求其全部解。 解 因为 ，所以方程组有无穷解， 取