线性代数(学分).PPTVIP

§6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则 * 定义：在n阶行列式D?det(aij)中? 把元素aij所在的第i行和第j列划去后? 剩下来的元素按原来的排列构成的 n?1阶行列式称为 aij的余子式? 记为Mij? 而 Aij?(?1)i? jMij称为aij的代数余子式? 引理. 定理. (行列式按第 j 列展开.) (行列式按第 i 行展开.) n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题. 解: 按第一行展开, 得 例1: 计算行列式 如果按第二行展开, 得 例2. 求 例3(03). 例4. 证明范德蒙行列式 定理的推论 注意:两个行列式只有第j行不同, 所以它们的第 j行的代数余子式对应相等. 关于代数余子式的重要性质 性质. 设 中 的代数余子式是 则 例. 设 元的代数余子式记作 的 求 1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 小结 2. 克拉默法则 若线性方程组 的系数行列式 则方程组有唯一解: 其中 定理. 非齐次线性方程组: b1,b2, …,bn不全为零. 齐次线性方程组: b1=b2= … =bn=0. 定理. 证: (2)只有零解当且仅当(2)有唯一解. 所以结论由上面的定理推出. 例1. 解: 例2. 解: 定理. 用克拉默法则解方程组的两个条件: (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 小结 例1. 解: 计算行列式. 例2: 计算 解: 例3: 计算 解: *