线性代数方程组的直接法.PPTVIP

线性方程组数值解法的分类 ?直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组） ◆ Gauss消去法及其变形 ◆矩阵的三角分解法 §3 矩阵的三角分解法 LU 分解求解线性方程组 例5: 设A＝(aij)∈M. 定义 用平方根法解线性代数方程组的算法 （1）对矩阵A进行Cholesky分解，即A=LLT，由矩阵乘法： 对于 i = 1, 2,…, n 计算 （2）求解下三角形方程组 （3）求解LTX = y 3．改进平方根法 其中 改进平方根法解对称正定方程组的算法 令LTX = y，先解下三角形方程组 LDY = b 得 解上三角形方程组 LTX = Y 得 §5 向量和矩阵的范数 1．向量的范数 定义1：设X ? R n，??Ｘ?? 表示定义在Rn上的一个实值函数， 称之为X的范数，它具有下列性质： （3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y? R n，恒有 (1) 非负性：即对一切X ? R n，X ? 0, ??Ｘ?? 0 (2) 齐次性：即对任何实数a ? R，X ? R n， 设X = (x1, x2,…, xn)T，则有 （1） （2） （3） 三个常用的范数： 范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在 常数 C1、C2 0 使得 , 则称 ‖·‖A 和‖·‖B 等价。 定理5：定义在Rn上的向量范数 是变量X分量的 一致连续函数。 定理6：在Rn上定义的任一向量范数 都与范数 等价， 即存在正数 M 与 m ( Mm ) 对一切X?Rn，不等式 成立。 推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。 对常用范数，容易验证下列不等式： 定义2：设给定Rn中的向量序列{ }，即 其中 若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有 则向量 称为向量序列{ }的极限，或者说向量序列{ } 依坐标收敛于向量 ，记为 定理7：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是 向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。 2．矩阵的范数 定义3：设A为n 阶方阵，Rn中已定义了向量范数 ， 则称 为矩阵A的范数或模， 记为 。即 矩阵范数的基本性质： （1）当A = 0时， ＝0，当A ? 0时， 0 （2）对任意实数k 和任意A，有 （3）对任意两个n阶矩阵A、B有 （5）对任意两个n阶矩阵A、B，有 （4）对任意向量X?Rn，和任意矩阵A，有 证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明：设 从而 * * 第七章 线性方程组 的直接解法 AX = b （3.1） ?迭代法（适用于高阶线性方程组） ◆Jacobi迭代法 ◆ Gauss-Seidel迭代法 ◆逐次超松弛法 ◆共轭斜量法 §1 高斯消去法 1．三角形方程组的解法---回代法 （3.2） （3.3） 2．顺序高斯消去法 基本思想：通过消元将上述方程组 化为三角形方程组进行求解。 消元公式 回代公式 顺序Gauss消去法可执行的前提 定理 1 给定线性方程组 ，如果n阶方阵 的所有顺序主子式都不为零，即 则按顺序Gauss消去法所形成的各主元素 均不为零，从而Gauss 消去法可顺利执行。 注：当线性方程组的系数矩阵为对称正定或严格对角占优阵时，按Gauss消去法计算是稳定的。 3、列主元Gauss消去法计算步骤： 1、输入矩阵阶数n，增广矩阵 A(n,n+1); 2、对于 (1) 按列选主元：选取 l 使 (2) 如果 ，交换 A(n,n+1) 的第k行与第l 行元素 (3) 消元计算 ： 3、回代计算 4．无回代过程的主元消去法 算法： 第一步：选主元，在第一列中选绝对值最大的元素，设第k行为主元行， 将主元行换至第一行，将第一个方程中x1的系数变为1，并从 其余n – 1个方程中消去x1。 第二步：在第二列后n – 1个元素中选主元，将第二个方程中x2的 系数变为1，并从其它n – 1个方程中消去x2。 第k步：在第k列后n – k个元素中选主元，换行，将第k个方程x