线性代数三.PPTVIP

所以方程组的通解为: 其中x2, x4为任意数. 例4: 证明右边方程组有解的充要条件是a1+a2+a3+a4+a5=0. 在有解的情况下, 求出它的通解. 证: 对增广矩阵B进行初等行变换. 方程组的增广矩阵B为 所以, 方程组有解 ? R(A)=R(B) 在有解的情况下, 原方程组的等价方程组为: 故通解: 其中x5为任意实数. 例5: 设线性方程组 问?取何值时, 有解? 有无穷多个解? 解: 对增广矩阵B=(A|b), 作初等行变换, (1) 当?=1时, 则R(A)=R(B)=1, 故方程组有无穷多解, 且其通解为: 其中x2, x3为任意实数. 这时又分两种情形: (2) 当??1时, 1) 当??–2时, 则R(A)=R(B)=3, 故方程组有唯一解: 2) 当?=–2时, 则R(A)R(B), 故方程组无唯. 三、几个重要结论 由定理1可直接推出如下结论: 推论1: 线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是R(A)=R(A | b). 推论2: n元齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件是R(A)n. 将推论1再推广到矩阵方程情形得: 推论3: 矩阵方程组AX = B有解的充分必要条件是R(A)=R(A | B). 证明: 设A, B分别为m?n, m?l 矩阵, 则X为n?l 矩阵, 并把X和B按列分块, 记为 X=(x1, x2, ···, xl ), B=(b1, b2, ···, bl ), 则矩阵方程组AX = B 等价于l个向量方程: Axi = bi ( i =1, 2, ···, l ) 充分性: 若R(A)=R(A | B), 必要性: 设矩阵方程组AX = B有解, R(A) ? R(A | bi) ? R(A | B), 即 l 个向量方程 Axi = bi ( i =1, 2, ···, l )都有解, 故 R(A) = R(A | bi), 从而, 矩阵方程组AX = B有解. 则由于 则 l 个向量方程 Axi = bi ( i =1, 2, ···, l )都有解, 不妨设为 ( i =1, 2, ···, l ) 若记 A=(a1, a2, ···, an ), 则有 ?1ia1 + ?2ia2 + ··· + ?nian = bi ( i =1, 2, ···, l ) 对矩阵(A | B)=(a1, a2, ···, an | b1, b2, ···, bl )作初等列变换: cn+i – ?1ic1 – ?2ic2 – ··· – ?nicn ( i =1, 2, ···, l ) 将把(A | B)的后 l 列, 即B所在的列都变成0列, 故 (A | B) ～ (A | O) R(A) = R(A | O) = R(A | B). 因此, 由定理1和推论3可得如下结论: 推论4: 矩阵方程组AX = O只有零矩阵解的充分必要条件是R(A)=n. 下面证明上节留下的性质7. 性质7: R(AB) ? min{R(A), R(B)}. 证明: 设AB=C, 则矩阵方程AX=C有解X=B, 论3得: R(A)=R(A|C). 而R(C) ? R(A|C), 故R(C) ? R(A). 由推 另一方面, 由BTAT=CT 可证R(C) ? R(B). 因此有: R(AB) ? min{R(A), R(B)}. 如果要求Y=CA-1, 则可对矩阵 作初等列变换. 列变换 即可求得Y=CA-1. 也可改为对(AT|CT)作初等行变换. 列变换 即可求得YT=(AT)-1CT=(A-1)TCT, 从而求得Y=CA-1. 例3: 已知n阶方阵A= 有元素的代数余子式之和: 求A中所 解: 因为|A|=2?0, 所以A可逆. 又A*=|A|A-1. r1–2r2 ri–ri+1 i=2, ···,n-1 因为A*=|A|A-1, 故A*=2A-1. 即 所以 三、小结 1. 单位矩阵 初等矩阵. 一次初等变换 2. 利用初等变换求逆阵的步骤是: (1) 构造矩阵(A|E)或 施行初等列 或对 (2) 对矩阵(A|E)施行初等行变换, 将A化为单位矩 阵E后, 右边E对应部分即为A-1; 变换, 将A化为单位阵E后, E对应的部分即为A-1. 思考题 表示成有限个初等方阵的 将矩阵A= 乘积. 思考题解答 A可以看成是由3阶单位矩阵E经4次初等变换: 而这4次初等变换所对应的初等方阵为: 而得. 由初等矩阵的性质得: §3.3 矩阵的秩 一、矩阵秩的概