线性代数四课件.PPTVIP

一、行列式的性质 二、应用举例 * * §1.4 行列式性质 需要考虑用别的方法计算行列式。 为此需要研究行列式的性质。 用行列式的定义计算行列式，所需机时： 对n 阶行列式：乘法运算次数 M ＝(n-1)次/项 × n！项 ＝ (n-1)n! 次 n ＝ 10, M ＝ 32,659,200 1百万次/秒的计算机，需机时：32秒 n ＝ 15, M ≈ 1.8×1013 1百万次/秒的计算机，需机时：13.0年 1亿次/秒的计算机， 需机时：50.6天 n ＝ 20， M ≈ 4.6×1019 1亿次/秒的计算机， 需机时：350,828年 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 记 行列式 称为行列式 的转置行列式. 显然 . 证明 按定义 又因为行列式 D 可表示为 故 证毕 性质2 互换行列式的任意两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 因此，在后面的性质中，如果对行列都成 立的性质，我们只证明对行成立。 第 行 交换其第 i 行和第 j行，有 第 行 第 行 由行列式定义可知， 中任一项可以写成 第 行 又因为 显然（2）式右端是取自不同行不同列的 个元素的 乘积，并且它们的行标在 中是标准排列的，所以 是 中的一项。因为排列 和排列 的奇偶性相反，所以（1）式和 （3）式差一个负号，所以 中任意一项的相反数 是 中的一项，所以 证毕 记法： 为了方便以后的叙述和运算，我们引入下列 记号 例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 用 表示行列式 的第 行，用 表示 的第 列。则 表示交换 的第 行和第 行， 表示交换 的第 列和第 列。 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都有一个公因子 ，则可以把公因子 提到行列式记号之外，即有 证明 由行列式定义知 例如，对任意的a，b，c，都有 例如 证毕 推论1　用数 乘以行列式 等于 中某一行（列）所有元素同乘以数 。 例如： 推论3：若行列式 D 某行(列)元素全为零，则D = 0。 推论2：若行列式中有两行(列)元素成比例，则D = 0。 例如 例如 注意：做题时不容易发现。 性质4　若行列式的第 行（列）各元素都是两数之和： 则行列式 可分解为两个行列式 与 的和。其中 的第 行是 ，而 的第 行是 ，其他各行与原行列式相同，即 例如： ⑴ ⑵ 注：不是任意两个行列式可以相加，必须只有除一行 （列）不同外，其余元素都相同才可以相加。 (×) 0 性质5　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例如 证明 由性质4 右边 左边 注意：k可以为0。 第 i 列和第 j 列对应元素成比例， 由性质3的推论2知＝0 例１ 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 解 例2 计算 n 阶行列式 解 将第 列都加到第一列得 注：行（列）和行列式