线性代数章课件.PPTVIP

线性代数（第五版） 在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等. 我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具. 第一章 行列式 内容提要 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 §5 行列式的性质 §6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则 行列式的概念. 行列式的性质及计算. —— 线性方程组的求解. （选学内容） 行列式是线性代数的一种工具！ 学习行列式主要就是要能计算行列式的值. §1 二阶与三阶行列式 我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式. 一、二元线性方程组与二阶行列式 二元线性方程组 由消元法，得 当 时，该方程组有唯一解 求解公式为 二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得. 其求解公式为 二元线性方程组 我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”. 记号 数表 表达式 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即 其中， 称为元素. i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列. 原则：横行竖列 二阶行列式的计算 主对角线 副对角线 即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积 ——对角线法则 二元线性方程组 若令 (方程组的系数行列式) 则上述二元线性方程组的解可表示为 例1 求解二元线性方程组 解 因为 所以 二、三阶行列式 定义 设有9个数排成3行3列的数表 原则：横行竖列 引进记号 称为三阶行列式. 主对角线 副对角线 二阶行列式的对角线法则并不适用！ 三阶行列式的计算 ——对角线法则 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号. 例2 计算行列式 解 按对角线法则，有 方程左端 解 由 得 例3 求解方程 §2 全排列及其逆序数 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 1 2 3 1 2 3 百位 3种放法 十位 1 2 3 1 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 种放法. 共有 问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示. 显然 即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法. 所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”. 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321 对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 3 2 5 1 4 思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序. 定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 排列 的逆序数通常记为 . 奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列. 计算排列的逆序数的方法 则此排列的逆序数为 设 是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ； 再看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ; …… 最后看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ; 例1： 求排列 32514 的逆序数. 解： 练习： 求排列 453162 的逆序数. 解： §3 n 阶行列式的定义 一、概念的引入 规律： 三阶行列式共有6项，即3!项． 每一项都是位于不同行不同